Đa số chúng ta đều nghĩ đơn giản rằng, hình học phẳng là hình học Euclide, khi không gian không phẳng chỉ việc dùng hình học Riemann có từ thế kỷ 19. Thế là xong. Người biết nhiều hơn có thể nói, hình học Riemman áp dụng cho không thời gian chính là lý thuyết tương đối Einstein. Tia sáng bị bẻ cong, dịch chuyển đỏ, điểm cận nhật của sao Thủy, vũ trụ dãn nở, bức xạ Hawking, lỗ đen, định lý kỳ dị, vướng víu lượng tử, vũ trụ dãn nở, vật chất tối, lạm phát, đối ngẫu,...đều phù hợp với hình học Riemman. Nếu muốn tổng quát hơn có thể xét tới hình học không giao hoán. Mọi việc đã có những cái đầu lớn như Witten lo, muốn biết thì phải đọc hàng tạ sách, mọi sự đều có lời giải trong đó.
Thực ra, không phải vậy. Ở đây tôi sẽ chỉ ra một số vấn đề, chúng ta có thể hiểu, suy nghĩ, thậm chí có thể nghiên cứu mà chưa cần đọc hàng tạ sách, và tạ sách đó cũng chưa biết tới lời giải đáp. Hình học và vật lý vẫn đang tiếp tục phiêu lưu, rẽ dọc rẽ ngang.
Chúng ta đều biết không gian Euclide, bình phương khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ có thể tính bằng cách lấy tổng bình phương của các hiệu của mỗi tọa độ. Người ta gọi đây là công thức Descartes, là tổng quát hóa nhiều chiều của công thức Pythagoras. Trong không gian Euclide, có thể có các mặt cong, khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên các mặt cong không thể dùng công thức Descartes mà phải dùng một đại lượng phụ thuộc vào từng điểm của mặt cong gọi là metric. Metric thay đổi là do tính cong của mặt cong đó quyết định. Ý tưởng bản thân các không gian có thể bị cong đi mà không nhất thiết phải nhúng vào một không gian phẳng nào có số chiều lớn hơn, đã được chín muồi bởi Bolyai-Lobachevsky-Gauss, qua việc xét lại định đề 5 của hình học Euclide. Tuy nhiên, việc xây dựng hình học đầy đủ chỉ được thực hiện bởi Riemann. Riemann xây dựng hình học mang tên ông chỉ dựa trên metric và độ cong, không biết tới khái niệm "liên thông".
Hình thức luận về hình học Riemann của Levi-Civita dựa trên đối tượng hình học cơ bản là "liên thông". Một cách trực giác, "liên thông" đo độ lệch khi chuyển động trên một mặt không phẳng, giống như khi rơi vào ổ gà, chúng ta sẽ bị xóc và nghiêng ngả. "Liên thông" tồn tại, nên không thời gian có độ cong. Độ cong được xác định hoàn toàn nếu ta biết "liên thông". Trong trường hợp liên thông thỏa mãn điều kiện Levi-Civita, nó sẽ được biểu diễn qua metric. Các công thức khá phức tạp và rối rắm, nhưng logic thì giản đơn và trực giác. Vào thời điểm 1915, đó là toàn bộ hình học Riemann mà chúng ta biết. Cũng may, kiến thức vật lý của chúng ta mới chỉ đến đó. Chúng ta chưa biết đến spin, chưa biết các biểu diễn của nhóm Poincaré và nhiều thứ khác. Hình học Riemann chỉ đặc trưng bằng độ cong là đủ để mô tả các hiện tượng vật chất đã biết vào lúc đó.
Năm 1921, Cartan phát hiện ra rằng các đa tạp cong cũng có thể có độ xoắn. Điều mà các nhà toán học phải mất hàng chục năm mới nhận ra, chỉ là một quan sát đơn giản của các bà nội trợ, quen giặt thảm, chăn, nệm. Khi đó liên thông không thỏa mãn điều kiện Levi-Civita. Không chỉ có những tính chất mới, hình học của Cartan còn giải quyết những điểm không phù hợp của hình học Levi-Civita. Cartan mất khá nhiều thời gian để xây dựng hình học Riemann tổng quát theo ngôn ngữ của các nhà vật lý. Các phương trình cấu trúc của ông cuối cùng cũng được viết dưới dạng hiệp biến Lorentz và theo quy ước Einstein. Giữa Cartan và Einstein đã có nhiều trao đổi về hình thức luận này. Mặc dù Einstein không chấp nhận hình học mới với độ xoắn, Cartan cũng đã thông báo cho Einstein biết về các phương trình cấu trúc dưới dạng hiệp biến. Cartan cũng phát hiện ra khi có độ xoắn, vật chất sẽ có moment quay. Tuy nhiên, Cartan đã có một lỗi khiến cho ông không tiếp tục việc hoàn thiện lý thuyết hấp dẫn có xoắn. Ông không chứng minh mà viết định luật bảo toàn năng xung lượng dưới dạng gradient của tensor năng xung lượng bằng 0. Trong các lý thuyết cổ điển và lý thuyết tương đối của Einstein định luật bảo toàn năng xung lượng được mô tả bằng gradient của tensor năng xung lượng triệt tiêu theo định lý Noether. Tuy nhiên, trong hình học có độ xoắn của Cartan, điều đó không còn đúng. Hệ thức này dẫn tới một hạn chế lý thuyết không phù hợp với thực tế. Điều đó làm Cartan đầu hàng, và nghĩ rằng tự nhiên không tuân theo hình học rất đẹp của ông.
Năm 1926, Uhlenbeck tìm ra spin của electron. Tới những năm 1960, Sciema và Kibble đã áp dụng lại hình học của Cartan cho lý thuyết hấp dẫn. Penrose đã nhận thấy khi vật chất có spin, torsion sẽ xuất hiện trong lý thuyết sau một vài biến đổi. Các lý thuyết nhiều chiều, siêu hấp dẫn đều xây dựng trên cơ sở các phương trình cấu trúc của Cartan.Hình học Riemann không giao hoán của tôi cũng xây dựng trên cơ sở hình thức luận Cartan. Các nhà vật lý chất rắn cũng phát hiện ra độ xoắn mô tả biến dạng của tinh thể. Điều quan trọng là độ xoắn sẽ thay đổi vật lý trong một khoảng cách bé hơn bán kính Cartan. Khi đó sẽ xuất hiện một lực Coriolis. Chính nhờ lực này, sẽ tồn tại các nghiệm không có kỳ dị, thay thế các lỗ đen. Ở khoảng cách lớn hơn, lý thuyết Cartan-Einstein cho các kết quả trùng nhau. Ở khoảng cách vũ trụ, lý thuyết Cartan-Einstein sẽ có một số hệ quả khác lý thuyết Einstein.
Một nhà vật lý Việt Nam là Đàm Thanh Sơn cũng đã ứng dụng lý thuyết Cartan-Einstein vào việc giải quyết một số vấn đề trong hiệu ứng Hall lượng tử. Việc xuất hiện độ xoắn sẽ giải quyết một số vướng mắc trong lý thuyết này. Điểm độc đáo và đẹp đẽ tới không ngờ, là lý thuyết hình học Cartan, vốn là xa xỉ ngya cả đối với các nhà lý thuyết năng lượng cao lại đột ngột có một ứng dụng trong các hệ vật rắn năng lượng thấp. Năm 1995, tôi cũng có một ý tưởng táo bạo tương tự khi áp dụng hình học không giao hoán vào hệ Hall lượng tử, nhưng chưa có hiệu ứng hấp dẫn và cũng chỉ dừng ở việc thu được một số lý thuyết đã có chứ chưa đưa được một bức tranh mới và toàn diện như hình học Cartan của Đàm Thanh Sơn.
Đối với tôi, lý thuyết Cartan-Einstein có bậc phi tuyến thấp hơn có thể là con đường dễ dàng hơn dẫn tới hấp dẫn lượng tử. Chẳng hạn, khi liên thông bằng không, độ cong cũng bằng không, độ xoắn vẫn tồn tại. Phương trình chuyển động cho trường hấp dẫn khi đó chính là phương trình Maxwell, lý thuyết hiển nhiên lượng tử hóa được. Một lý thuyết hỗn hợp độ cong và độ xoắn, có thể lượng tử hóa với các hệ quả của nó đang trong quá trình xây dựng.
Một điểm thú vị là độ xoắn làm thay đổi cấu trúc địa phương, từ nhóm Lorentz biến thành nhóm Gallile. Có lẽ đây là chỗ mà các cấu trúc toán học mới như groupoid, algebrapoid có thể vào vật lý và phát triển mạnh.
