Sách Chu bễ có phải là ngụy thư?

Sách Chu bễ còn gọi là Chu bễ Toán kinh (周髀算经) là sách cổ của Trung Quốc. Đa số các học giả Trung Quốc cho là xuất hiện sớm nhất khoảng TK1 trước CN tức là khoảng thời Hán Vũ Đế. Điểm đặc biệt là trong sách này có thuyết Cái Thiên và cơ sở cho lịch Tứ phân. Một số học giả cho rằng sách này ra đời sớm hơn vào thời Chiến Quốc (TK5-TK3 trước CN). Một số học giả quá khích hơn còn cho rằng sách này soạn đầu đời Chu (TK11 trước CN) hoặc thời Xuân Thu (TK8-TK5 trước CN). Một số người lại cho tác phẩm này xuất hiện muộn hơn nhiều.
Đặc biệt mô hình vũ trụ của Chu bễ hoàn toàn khác biệt với Thiên văn học dòng chủ lưu của Trung Quốc với thuyết Cái thiên như sau "Thiên viên như trương cái, địa phương như kỳ cục" (Trời tròn như cái lọng, đất vuông như bàn cờ). (Cái là cái lọng do đó thành tên chủ thuyết). Chủ thuyết này là bất di bất dịch trong quan niệm chủ lưu của Trung Quốc cho đến cuối đời Minh, khi Thang Nhược Vọng (giáo sĩ người Đức) đưa ra Tân thuyết giải thích bốn mùa, năm đới khí hậu, gây ra ầm ĩ và phản đối trong giới sĩ phu. Tuy nhiên, trong sách Chu bễ đã nói về việc tại Bắc Cực đến hè băng cũng không tan. Chu Bễ cũng nói mặt đất hình tròn, bầu trời cũng hình tròn, song song với mặt đất cách mặt đất 8 vạn dặm. Cần nói rõ Chu Bễ không hề nói Trái Đất hình cầu, mà chỉ nói bề mặt Trái Đất cong, có thể là một phần của mặt cầu và vì thế cũng không hề biết có Nam Cực.
Điều đáng chú ý là mô hình vũ trụ của Chu Bễ hoàn toàn giống hệt như mô hình có trong sách cổ của Ấn Độ là Puranas (Vãng thế thư), ước ra đời TK10 trước CN. Nhiều học giả Trung Quốc cũng cho rằng, tuy ý tưởng giống nhau có thể sinh ra tại nhiều nơi, nhưng việc trùng đến mức quái dị từ đại thể đến tiểu tiết giữa Chu Bễ và Puranas, khó lòng không cho chúng là từ một gốc. Chính học giả Trung Quốc nói rằng cho rằng "Ngẫu nhiên xảo hợp" là cách giải thích vô cùng miễn cưỡng.
Ở điểm này, các học giả TQ có hai cách nhìn nhận khác nhau. Một cho rằng Puranas chép từ Chu Bễ, rồi từ đó truyền sang Lưỡng Hà, Hy Lạp, La Mã. Quan điểm khác cho rằng, Chu Bễ nhắc tới Chu Công (TK10 trước CN) và Trần Tử (TK1 trước CN, tức là thời Hán Vũ Đế), như vậy không thể ra đời trước Puranas. Lại có người cho rằng Chu Bễ được soạn một lần thời Chu Công và lần sau thời Trần Tử. So sánh văn phong với sách Hoài Nam Tử, người ta có thế thấy phần Trần Tử có văn phong đồng thời với Hoài Nam Tử. Từ đó suy ra Chu Bễ có thể có niên đại như TK1, nếu bản Hoài Nam Tử mà chúng ta có hiện nay đích xác là nguyên bản của Lưu An. Tuy nhiên, các chi tiết của phần có Trần Tử cũng giống Puranas. Mặt khác, thời cổ không có Internet, thời gian để một cuốn sách do Chu Công phổ biến ra xã hội đã lâu, để lan truyền ra ngoại vực không thể trong vòng vài năm.
Đáng chú ý trong Hán Thư của Ban Cố (TK1) trong Nghệ Văn Chí có nhắc đến hai tác phẩm toán học là Hứa Thương Toán Thuật và Đỗ Trung Toán Thuật, không hề có Chu Bễ Toán Kinh. Do đó có khả năng là Chu Bễ Toán Kinh thời đó vẫn chưa có.
Và còn một số lý do khác mà tôi sẽ không thảo luận ở đây, đa số học giả thừa nhận, thời gian ra đời sớm nhất có thể có của Chu Bễ là vào đời Hán Vũ Đế (TK1 trước CN). Nên nhớ rằng thời gian này là thời gian thuyết Cái thiên của Trương Hành đang là chủ lưu. Nội dung của Chu Bễ mâu thuẫn hoàn toàn với các thuyết chủ lưu, khó lòng có thể chen chân vào học giới. Cách học của người Trung Quốc lại rất câu nệ sách vở giáo điều, không bao giờ tham khảo các quan điểm dị biệt, cho là tà thuyết.
C. Cullen cho rằng Chu Bễ không phải một người viết, mà đại thể có thể chia thành nội thiên và ngoại thiên. Nội thiên lấy Trần Tử làm trung tâm, có thể được soạn vào thế kỷ 1. Tuy nhiên ngoại thiên không thể soạn muộn hơn thế kỷ 2. Lại có học giả Nhật Bản căn cứ vào nội dung của Chu Bễ có xác định vị trí của sao Bắc Cực luận đoán ra, người viết quan sát thiên tượng của TK6-TK7 trước CN. Tuy nhiên cách lập luận này đã bị phê phán rất nhiều.
Hiện nay đa số học giả thống nhất được là Chu Bễ không do một người trước tác do nội dung và văn phong đều bất đồng. Các tác giả cũng ở nhiều thời kỳ khác nhau, và có những quan điểm bất đồng. Trong lịch sử Trung Hoa, việc san định, chú giải sách khá tùy tiện, như sách Tam Quốc của Trần Thọ nhưng lượng đóng góp của Bùi Tùng Chi rất lớn, và không loại trừ việc sửa cả văn gốc. Hoặc Tôn Tử Binh Pháp có thêm rất nhiều đóng góp của Tào Tháo đời Hán và Lý Tĩnh đời Đường cách rất xa về niên đại. Nếu thừa nhận Chu Bễ có nhiều tác giả và nhiều quan niệm khác nhau, cần phải xác định ý tưởng nào thuộc về thời kỳ nào thông qua nội dung và so sánh với chủ lưu chứ không thể gán ghép toàn bộ nội dung cho một thời kỳ để ra những kết luận không có cơ sở, như một năm dài 365.25 ngày (nếu có) có trong Chu Bễ được gán ghép cho thời Chu hoặc Xuân Thu, Chiến Quốc. Như vậy những lời được cho là của Thương Cao, Chu Công, Trần Tử đều là hư cấu của người sau.
Các học giả Trung Quốc cũng đặt vấn đề "Tri thức về thời tiết nóng lạnh và 5 đới khí hậu từ đâu đến". Tri thức thiên văn chủ lưu của người Trung Quốc không cho phép giải thích thời tiết khí hậu. Do đó có thể nói đến thế kỷ 17, Thang Nhược Vọng mới mang tri thức này vào Trung Quốc. Tuy nhiên Chu Bễ Toán Kinh lại có manh nha loại tri thức này, là một điểm kỳ lạ và đứt đoạn.
Tôi tạm dịch một số đoạn nhận định sau
比较合理的解释似乎只能是 ∶ 这些知识不是中国传统天文学体系中的组成部分, 所以对于当时大部分中国天文学家来说, 这些知识是新奇的, 与旧有知识背景格格不入的, 因而也是难以置信的.
So sánh giải thích hợp lý tựa hồ chỉ có một khả năng là∶ những tri thức này không phải là bộ phận trong hệ thống thiên văn học truyền thống của Trung Quốc, vì lẽ đó đối với đại bộ phận các nhà thiên văn học Trung Quốc thời đó mà nói, những tri thức này là mới mẻ, không ăn nhập gì với các tri thức cũ mà họ cho, vì thế rất khó chấp nhận.
其次, 在古代中国居传统地位的天文学说 ---- 浑天说中, 由于没有正确的地球概念, 是不可能提出寒暑五带之类的问题来的.
Hơn nữa, trong thuyết Hỗn thiên, thuyết thiên văn có địa vị (trung tâm) trong truyền thống cổ đại Trung Quốc, do không có khái niệm địa cầu chính xác, không thể có năng lực đề xuất các loại vấn đề liên quan tới thời tiết, khí hậu.
Để kết luận, tôi xin bày tỏ quan điểm cá nhân, người đọc tùy ý lựa chọn tin tưởng hay không: Khả năng Chu Bễ Toán Kinh là ngụy tạo dần dần từng chi tiết hoặc toàn bộ không phải là không có. Việc ngụy tạo sách vở cổ thư của Trung Quốc không phải là chuyện hiếm. Việc các tri thức về vũ trụ của Chu Bễ gần như bê nguyên xi từ Puranas là hiển nhiên. Khả năng trùng hợp (xảo hợp) rất hiếm hoi như lạc đà chui qua lỗ kim, tuy theo thuyết lượng tử không phải là không có tý xác suất nào. Tin ở những điều may rủi vu vơ như vậy, trong khi có quá nhiều điều hay và chắc chắn hơn, phụ thuộc bạn có quá nhiều thời gian không biết dùng làm gì hay không. Cuối cùng, dù là ngụy thư, tự phát minh hay sao chép, các kiến thức có giá trị trong Chu Bễ cũng nằm ngoài kiến thức chủ lưu của Trung Quốc trong suốt lịch sử cho đến Trung hoa Dân Quốc. Do đó không thể coi là tri thức thiên văn học Trung Quốc. Mặt khác các kiến thức này đều có ở Ai Cập, Lưỡng Hà, Ấn Độ trước Chu Bễ rất nhiều. Những điều tôi nói đây không phải là suy đoán cá nhân, hay ý kiến của học giả phương Tây mà của các học giả Trung Quốc có lý trí và công bằng.
Tôi sẽ trở lại lịch tứ phân và việc người Trung Quốc biết một năm có 365.25 ngày từ khi nào sau vào một dịp khác.

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (3)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (3)

Các khái niệm của hình học vi phân, cho tôi có đủ công cụ để tìm một cấu trúc không thời gian mới phù hợp cho vật lý. Tôi đã thử mở rộng không thời gian vật lý bằng các tọa độ lấy các giá trị Clifford, quaternion và octonion thay cho Grassmann. Thậm chí, tôi cũng đã thử thay thế các toạ độ không thời gian bởi các số siêu phức. Nhưng có thể do hạn chế về năng lực, tôi không tìm được tính chất vật lý gì thú vị. Mặt khác, tôi không có ý định trở thành chuyên gia về phát triển công cụ toán học thuần tuý. Do đó, rất nhanh tôi từ bỏ các ý tưởng đơn giản này, để đi đến các cấu trúc toán học tinh vi và gần vật lý hơn. 

Ban đầu, tôi thích khái niệm không gian phân thớ trên tập coset G/H chỉ bởi vì nó là ví dụ hiếm hoi mà tôi hiểu được khá nhanh khi học hình học vi phân. Có thể do từ lâu tôi vẫn băn khoăn mối liên quan nào đó mang tính động lực vật lý giữa các lý thuyết có đối xứng cao hơn và thấp hơn. Tôi lờ mờ cảm thấy rằng, có lẽ khái niệm này sẽ là công cụ tốt hơn để mở rộng khái niệm không thời gian. Cảm nhận đó được khẳng định nhờ Victor Ogievetsky, người được phương Tây nhắc tới như là Feza Gursey của Nga. Khi tôi gặp ông, cũng là lúc mà nhóm của ông đang tạo ra cả một ngành công nghiệp chế tạo ra các cái gọi là siêu không gian điều hòa gồm các toạ độ không thời gian, toạ độ Grassmann và các toạ độ coset G/H. Trong vòng 3 tháng lao động cật lực, tôi hoàn thành một số tính toán và công bố chung với nhóm của Ogievetsky một công trình, mà sau đó nó đã giúp tôi được các nhóm nghiên cứu ở phương Tây để ý tới. Tuy vậy, tôi cảm thấy các công cụ kỹ thuật quá phức tạp đó khó có khả năng đưa tôi đến đích mong muốn. 

Trong thời gian đó tôi đã tìm được Witten và cảm thấy đồng điệu với ông khi đọc những tuyên ngôn của ông trong các bài đầu tiên về siêu không gian nhiều chiều "con đường để đi đến siêu đối xứng là phải qua không gian nhiều chiều, con đường xây dựng lý thuyết nhiều chiều là phải dùng siêu đối xứng". 
Cần phải nói thêm siêu đối xứng là đối xứng giữa các hạt có spin nguyên và các hạt có spin bán nguyên. Pauli đã chỉ cho chúng ta rằng hai loại hạt cơ bản này có thuộc tính khác nhau. Các hạt spin nguyên có xu hướng "đa thê", giống nhau, hợp với nhau, thì có thể kết giao vô hạn. Các hạt spin bán nguyên có xu hướng "một vợ một chồng", cấm mọi hành động "vượt rào". Việc xếp hai hệ thống đạo đức rất khác nhau này vào một rọ đối xứng là một cưỡng bức rất thiếu tự nhiên. Tuy nhiên, điều kỳ lạ nhất là nếu một lý thuyết vật lý có được tính chất siêu đối xứng thì các loại kỳ dị, các tích phân phân kỳ trong các công thức vật lý sẽ khử lẫn nhau một cái kỳ diệu. Một cách kỳ bí nào đó, chỉ không gian bốn chiều mới có những điều khó chịu đó, hoàn toàn phù hợp với kết quả phân loại của đa tạp tô pô. Ở đây, giữa toán học và vật lý bắt đầu có một cuộc giao cảm, các trực quan vật lý có thể gợi ý cho các ý tưởng toán học. Những người lạc quan nhất vào những năm 80 đều nghĩ rằng sẽ nhanh chóng nắm bắt được điều gì đó lớn lao trước điểm hẹn cho một cách mạng tư tưởng của thế kỷ. 

Tôi bắt đầu cố gắng đọc tất cả các công trình của Witten và nhận thấy được rằng đây sẽ là người thiết kế ra các hướng nghiên cứu cho vật lý lý thuyết trong những thập kỷ 80-90, mặc dù lúc đó còn rất ít người biết đến Witten. Có lẽ, từ một nơi xa xôi lạc hậu bị cô lập thông tin, mà tôi có thể sớm phát hiện ra điều đó, là vì tôi đã không tiếc công học toán. Vào thời điểm đó nếu được làm việc ở phương Tây, có lẽ tôi đã có thể dễ dàng hoà nhập vào dòng chủ lưu của vật lý.

Điểm mạnh của lý thuyết vật lý trong không gian nhiều chiều là có thể liên kết các hiện tượng vật lý có vẻ như không liên quan của thế giới bốn chiều với nhau. Chẳng hạn, mối cảm thông giữa một chàng trai và một cô gái là khó có thể cắt nghĩa nếu chỉ hạn chế trong thế giới 4 chiều. Nhưng nếu có thể cho rằng hai cá thể chỉ là hai hình chiếu khác nhau của cùng một đối tượng nhiều chiều, người ta có thể có một cơ chế động lực để giải thích mối tương quan đó. Tuy vậy, điểm yếu của các lý thuyết nhiều chiều là chúng quá rộng, dường như những ưu điểm do chúng mang lại không bù đắp được. Tình trạng này, cũng giống như việc tìm ra được thêm các phương trình mới, nhưng các phương trình này lại kèm theo quá nhiều các ẩn số mới. 

Chính tôi còn nghi ngờ vào tương lai của những không gian vật lý kiểu thế này, nên đã quyết đinh không tham gia vào việc mở rộng các siêu không gian đến 2,4,8 chiều Grassmann, rồi 11, 26 chiều thực, mặc dù đã chuẩn bị kỹ thuật đầy đủ và công việc này đủ để đưa rất nhiều người lên đài vinh quang. Có nhiều điều hay, nên làm và có thể làm, nhưng không phải dành cho ta, nếu ta không thấy hạnh phúc và không có đủ niềm tin.

Witten vượt qua đám đông cần mẫn đào xới bề bộn đó rất nhanh và chỉ ra những hướng mới với hiểu biết toán học sâu sắc. Từ đây, ông trở thành tổng chỉ huy phát ra các hướng nghiên cứu chủ đạo của vật lý lý thuyết. Trong một công trình vào khoảng 1983-1985, Witten đã chỉ ra các lý thuyết có một đại lượng gọi là số hạng Wess-Zumino sẽ tiềm ẩn những nội dung vật lý mới. Tôi đã hiểu được ngay các phần tử đó có liên hệ với các lớp đặc trưng của Chern và Simon. Tuy nhiên, ý nghĩa vật lý cụ thể của các cấu trúc toán học đó, cho đến khi một người bạn học cũ đã trở thành giáo sư ở MIT gửi cho tôi công trình của Witten-Nappi-Adkins. Công trình này khác hẳn với phong cách thường thấy của Witten mà đi sâu về việc tính toán các đại lượng vật lý của nucleon, dựa trên một mô hình của Skyrme đã xây dựng từ những năm 50-60. 

Mô hình này dựa trên một ý tưởng điên rồ, coi nucleon, hạt tạo thành mọi vật chất xung quanh ta, như là những lời giải đặc biệt của các phương trình mô tả hạt pion, mô tả tương tác mạnh. Các lời giải đặc biệt này tương tự như các xoáy nước trong các hệ thuỷ động học phi tuyến tính. Ý tưởng này điên rồ đến nỗi phải 30-40 năm sau mới trở thành phổ biến trong vật lý. Các nhà vật lý từ thời cơ lượng tử vẫn quen với tư duy số học xây dựng các số nguyên từ số bán nguyên kiểu như: 1/2+1/2= 1 hay 1/2-1/2=0. Làm thế nào để xây dựng các trạng thái có spin 1/2 từ các hạt có spin 0? Skyrme là người đầu tiên chỉ ra được điều đó, ông thấy các nghiệm kiểu xoáy nước đó có khối lượng, bán kính xác định giống như nucleon và phù hợp với vật lý cho đến mức định lượng một cách huyền bí. Ông kiên nhẫn viết khoảng 10 bài báo từ năm 1953 đến 1961 mà hoàn toàn không có ai hưởng ứng, cho đến khi chán nản, bỏ vật lý đi làm một việc khác. Mãi đến sau năm 1965 mới có một nhà toán học chứng minh được các nghiệm đó có tính bền vững vì bảo toàn đặc trưng tô pô. Các nghiệm đó có spin 1/2 vì nếu quay 360 độ người ta không nhận được nghiệm ban đầu. Nói theo ngôn ngữ của toán tô pô, có thể coi tô pô của nghiệm đó như là một băng Mobius, phải đi hai vòng 720 độ mới trở lại trạng thái ban đầu. Tính chất này được bảo toàn nhờ một số gọi là winding number, hay lớp đặc trưng Chern. Nói một cách khác, vật lý phải mất 40 năm mới hiểu được các công trình của Skyrme do không nắm được các kiến thức toán học cần thiết.

Chính nhờ chuẩn bị khá kỹ về tô pô vi phân, tôi hiểu được rất sớm dụng ý của Witten. Các lý thuyết phi tuyến sẽ sinh ra các cấu trúc vật lý mới một cách động lực qua một cơ chế gọi là kích thích tập thể, như vô vàn giọt nước tham gia vào việc tạo ra xoáy nước, nhờ một cấu trúc tô pô đặc biệt. Trong khoảng thời gian 6 tháng tôi cố gắng nuốt tất cả các công trình của Witten và Skyrme. Bãi săn hổ của tôi đã hình thành với ba góc lưới đã giăng sẵn: Wigner với nhóm Poincaré, Witten với các không gian vật lý có tô pô đặc biệt và Skyrme với cơ chế sinh ra vật chất từ tương tác. Vũ khí là khai triển điều hoà của Ogievetsky theo các toạ độ coset G/H.

Có lẽ công việc khó nhất đối với nhà vật lý là việc biểu diễn các ngôn ngữ hình thức nặng nề, thành một ngôn ngữ của mình, lịch lãm và đơn giản. Rất tình cờ, người hướng dẫn nghiên cứu sinh của tôi là Đào Vọng Đức là một chuyên gia về việc trình bày mọi vấn đề khó nhất trở nên đơn giản nhất. Về mặt chuyên môn, hướng đi của tôi và cách tư duy của tôi có lẽ khác với Đào Vọng Đức khá nhiều. Đến nỗi khi tôi bảo vệ tiến sĩ ông phát biểu "số thời gian thảo luận khoa học của tôi với anh Việt tổng cộng chưa tới 3 phút" và một lần tôi đưa một công trình nhờ ông đọc, thì ông nói "mình không thạo về chuyên môn này". Nhiều người cho rằng tôi là học trò bị thất sủng. Tôi đã hỏi thẳng Đào Vọng Đức việc này, ông nói "Hướng dẫn phải tuỳ người. Với Việt, việc được tự do sẽ có ích hơn cho phát triển lâu dài." Với những người khác tôi có thể nghĩ đó là một kiểu nói lẫy, nhưng với Đào Vọng Đức tôi chưa bao giờ phải nghi ngờ. Tuy vậy, càng ngày tôi càng nhận ra rằng phong cách trình bày và phong cách xây dựng hệ thống hình thức của tôi đã nhận ảnh hưởng từ Đào Vọng Đức rất nhiều. Điều đó còn có ý nghĩa nhiều hơn việc tiếp thụ trực tiếp kiến thức. Tôi mãi biết ơn ông về điều đó.

Tôi bảo vệ tiến sĩ trong nước năm 1987, luận văn được đánh giá xuất sắc với 9 bài báo, trong đó có 6 bài đăng nước ngoài. Tôi chưa bao giờ cảm thấy tự ti với tấm bằng "nội địa" của mình. Có lẽ, đối với nhiều tiến sĩ trẻ, thời kỳ sau khi bảo vệ luận án, khó khăn nhất là thoát khỏi ảnh hưởng của thầy. Tôi hoàn toàn không gặp phải vấn đề đó. Chương trình săn hổ của tôi đã hoạch định sẵn sàng. 

Tuy nhiên, vấn đề không hoàn toàn đơn giản vì thông tin khoa học đến Việt Nam quá muộn màng và thiếu thốn. Các tạp chí hiếm hoi đến Việt nam cũng phải chậm từ 3-4 năm. Nếu muốn làm khoa học thực sự, đã đến lúc tôi phải tìm một môi trường khác, hoặc dùng tấm bằng đi làm một việc khác. Tôi đặt cho mình một chương trình 2 năm để chuẩn bị về tiếng Anh, máy tính, cơ sở toán học và các khiếm khuyết về vật lý để ra nước ngoài làm việc. Sau một chuyến công tác ở Pháp, Nguyễn Văn Hiệu có kể cho chúng tôi nghe về Julia, một nhà vật lý rất trẻ và rất giỏi, có một công trình về compact hoá lý thuyết nhiều chiều. Tôi còn nhớ một anh bạn vong niên vỗ vai tôi khích bác "như thế tức là hàm ý là cậu không giỏi". Tôi nói với anh ấy "Em thấy không có gì phải nghi ngờ về điều đó. Nhưng qua đó em thấy hy vọng. Em sẽ cày đến năm 40 tuổi để được như Julia bây giờ. Thế cũng tốt rồi." Nói như vậy để tự trấn an, nhưng tôi cũng còn băn khoăn, nếu ra nước ngoài làm việc, mình có thể cạnh tranh để làm những vấn đề mà người ta đang làm hay không, không thể giơ những vấn đề cũ rích hoặc sách giáo khoa ra để loè họ lâu dài được. 

Tôi quyết định phải làm cái gì đó mới lạ để thử sức theo hai hướng. Không khó lắm để nhận ra không gian thương của các coset của nhóm Poincaré với nhóm quay 4 chiều SO(3,1) chính là đa tạp vật lý 4 chiều. Như vậy biểu diễn của nhóm Poincaré sẽ là các biểu diễn của nhóm SO(3,1) đồng thời là các hàm theo 4 toạ độ thực. Như vậy, ngôn ngữ biểu diễn đối xứng theo coset là phổ quát và không gian vật lý sinh ra một cách tự nhiên nhờ nhóm đối xứng. Nhưng các biểu diễn tuyến tính thường chỉ mô tả được các đối tượng lý tưởng không có tương tác. Nếu chọn một coset khác, có khả năng sẽ sinh ra các tương tác phi tuyến.

Sau nhiều ngày lục lọi tất cả các số tạp chí Physical Review D có ở thư viện quốc gia, tôi tìm được hai công trình của Coleman-Wess-Zumino nói về biểu diễn phi tuyến của một nhóm G, thông qua không gian coset G/H.
Tôi đọc đến đâu hiểu sâu sắc đến đó và quyết định mở lưới theo hai hướng. Hướng thứ nhất, xem có thể tìm các biểu diễn khác nữa cho một nhóm đối xứng, mà có thể tìm được những hình thức tồn tại của nó trong thực tế với tư cách là các đối tượng vật lý. Hướng thứ hai, áp dụng phương pháp biểu diễn phi tuyến cho nhóm SU(2) X SU(2) để xây dựng lại mô hình Skyrme, qua đó tìm hiểu công trình của Witten-Nappi-Adkins. Không ngờ, ở cả hai hướng này, tôi đều có gặt hái. Thành quả tuy chỉ có thể ví như lông hổ nếu nghĩ tới con hổ tôi định săn, nhưng vẫn là hai ý tưởng trong số 3-4 ý tưởng mà tôi đắc ý nhất.

Ở hướng thứ nhất tôi đặt vấn đề tổng quát hoá biểu diễn trong các không gian vật lý có tô pô không tầm thường với các đối tượng đo được là cocycles được phân thành từng bậc. 1-cocycle của một biểu diễn tô pô của một nhóm G chính là trường vector tương tác Yang-Mills của nhóm G, theo ngôn ngữ toán học đây chính là liên thông. Các thế tương tác điện từ, tương tác mạnh, yếu, hấp dẫn đều sinh ra với cách này. 2-cocycle cũng hiển nhiên, chính là cường độ trường, ứng với khái niệm độ cong. Tôi nhanh chóng chỉ ra được các cocycle ở bậc cao hơn là các đặc trưng tô pô như lớp Chern, Chern-Simon,... Điều đáng nói là các cocycle bậc 3, nếu tồn tại sẽ có các hiệu ứng vật lý đo được như hiệu ứng Bohm-Aharonov. Sau này trong các hệ thống vật lý chất ngưng tụ với tương tác mạnh, hoặc với chùm electron đi qua vùng không gian có một lõi từ, người ta cũng đã đo được các hiệu ứng này. Tôi tin rằng các cocycle bậc cao hơn nữa cũng sẽ quan sát được. Tôi có được một biểu diễn hết sức đẹp đẽ và đơn giản đúng theo phong cách Đào Vọng Đức các cocycle dưới dạng công thức Cambel-Haussdorf cho các đại lượng không giao hoán, không kết hợp,... Công trình được đăng trên tạp chí Phys.Lett. B. là nơi nhiều nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng, trong đó có Witten thường đăng bài. Tôi còn nhớ cảm giác sung sướng và tự hào khi đó: Từ một nơi xa xôi hẻo lánh, không có ai hướng dẫn, không có tài liệu khoa học mới nhất, tôi có thể tạo ra một sản phẩm được chấp nhận trên một tạp chí hàng đầu. Nếu không đổ mồ hôi học toán thật kỹ càng như thế, tôi đã không thể làm được điều đó. 

Trên hướng thứ hai, tôi bắt đầu bằng đối xứng SU(2) X SU(2) thường gọi là đối xứng chiral mà các nhà vật lý đã nghiên cứu rất kỹ trong những năm 50 để tìm hiểu về quan hệ giữa hạt pi meson và tương tác mạnh. Đối xứng này bị vi phạm bởi khối lượng pion và chỉ còn lại đối xứng SU(2) ở năng lượng thấp. Ban đầu tôi chỉ đơn giản muốn dùng phương pháp biểu diễn phi tuyến của Coleman-Wess-Zumino và định chứng minh rằng lý thuyết Skyrme sinh ra một cách tự nhiên nhờ biểu diễn phi tuyến. Thật bất ngờ, tôi nhận được một lý thuyết rất giống nhưng sai khác lý thuyết Skyrme ở các số hạng bậc cao hơn. Và tôi đã quyết định bắt chước Witten-Nappi-Adkins để tính lại các đại lượng có thể quan sát bằng thực nghiệm. Khi đó tôi đề nghị với người bạn vong niên là Phạm Thúc Tuyền cùng thực hiện các tính toán này. Sau một năm, các kết quả nhận được rất bất ngờ là lý thuyết của chúng tôi có độ phù hợp với thực nghiệm cao hơn lý thuyết của Witten-Nappi-Adkins(WNA). Đặc biệt, một số giá trị của WNA đều cao hơn giá trị thực nghiệm, một số giá trị của mô hình của chúng tôi lại thấp hơn giá trị thực nghiệm. Có thể dự báo rằng nếu thêm vào các tương tác khác, mô hình của chúng tôi sẽ hội tụ tới thực tế, trong khi mô hình Skyrme cổ điển sẽ ngày càng xa thực tế. Tuy nhiên, tôi đã phải bắt đầu cuộc phiêu lưu thế giới sớm hơn thực tế, nên phải rời bỏ hai góc lưới đã chăng. Dẫu chẳng săn được hổ, nhưng hai góc lưới đó chắc chắn cũng có thể có thu hoạch không tồi. Chắc đó cũng là định mệnh của tôi, cũng có thể là hành trang của Nguyễn Hoàng Phương để lại, không thể thành chuyên gia trong một lĩnh vực. Tuy vậy chắc chắn một ngày nào đó tôi sẽ quay lại. Trong hành trình săn hổ, đôi khi buộc phải để lại những công việc dở dang. Đó chính là một cuộc đánh cược: đổi những thành tựu có thể thấy được để tìm tới một hình ảnh huy hoàng hơn, nhưng cũng có thể là một ảo giác, để trở về với tay trắng (còn nữa)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (2)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (2)

Vật lý khác Toán học ở chỗ luôn hướng về những mục tiêu xác định. Vật lý của các thập kỷ từ sau khi ra đời của Cơ học lượng tử, thay đổi cung bậc theo từng thập kỷ. Thập kỷ 50 là thập kỷ của hàng loạt tư tưởng tiên phong: đối xứng định xứ, vi phạm đối xứng phải trái, cơ chế sinh khối lượng, không gian vật lý nhiều chiều, lý thuyết dây, tính đối ngẫu, soliton.
Các ý tưởng khai phóng trong thời kỳ này đều trở thành những tòa lâu đài rực rỡ của vật lý trong những thập kỷ tiếp sau. Các tư tưởng này sau khi thoát khỏi hình hài sơ sinh đã phát lộ những kiến trúc toán học tiên tiến nhất của thời đại: không gian phân thớ, lý thuyết đối ngẫu, lý thuyết khả tích, đa tạp Calabi-Yau, các lớp đặc trưng, nhóm đồng luân, đối đồng điều. Toán học và Vật lý dường như đang tăng tốc tới điểm hẹn của thế kỷ.
Vật lý của thập kỷ 60-70 là khúc cao trào của một mùa gặt viên mãn của tư tưởng đối xứng của Egene Wigner với những viễn cảnh thơ mộng nhất. Các tư tưởng vật lý đều trong sáng và mạnh mẽ. 
Trong khi cả nhân loại đang hứng khởi với những lý thuyết thống nhất điện từ yếu, sắc động học lượng tử, siêu thống nhất, chúng tôi, những người bị gạt ra rìa cuộc chơi, chỉ nghe được những tiếng vọng thưa thớt, muộn màng của một kỳ lễ hội huy hoàng.
Một số người trong bọn tôi tin rằng chỉ cần đọc thật kỹ một cuốn sách và lặp lại được hết các công thức trong đó là sẽ "vượt vũ môn hóa rồng". Tôi cũng đã thử làm như thế, nhưng tôi không cảm thấy hạnh phúc với những công thức tính toán, có lẽ bởi vì tôi không được sinh ra với năng khiếu làm xiếc hoặc cảm hứng tự nhiên với các con số. Đặc biệt càng đi theo con đường này, tôi càng cảm giác được, cái đích ở cuối con đường này không phải là cuộc gặp gỡ của các tư tưởng Toán và Vật lý hay các cấu trúc phổ quát mà Nguyễn Hoàng Phương và Egene Wigner đã hứa hẹn với tôi.
Không hiểu là vì không có phương hướng hay vì may mắn mà có một dự cảm, tôi bắt đầu hành hương trở lại quá khức và tìm về với Eugene Wigner. Tôi vẫn còn nhớ rõ sự sung sướng và ngạc nhiên khi tự mình đọc và hiểu được công trình của Wigner về biểu diễn nhóm Poincaré. Nhóm Poincaré chính là nhóm đối xứng của không thời gian vật lý 4 chiều Minkovsky mà chúng ta đã thấy rõ ý nghĩa qua thuyết tương đối nghĩa hẹp của Einstein. Đối xứng này bao gồm phép biến đổi tịnh tiến, phản ánh tính đồng nhất và phép biến đổi quay, phản ánh tính đẳng hướng của không thời gian. Nhóm Poincaré là một nhóm nửa đơn, có hai bất biến Casimir, ứng với khối lượng và spin. Như vậy, các biểu diễn của nhóm Poincaré đều được đặc trưng bởi hai số không đổi (m,j) và đó chính là các hạt cơ bản. Và do nhóm Poincaré có 4 tờ liên thông, đối xứng không thời gian Poincaré còn kéo theo sự tồn tại của các phản hạt, hạt có số chẵn lẻ trái dấu và thế giới vật lý với thời gian quay ngược về quá khứ. Đây thực ra là một kết quả kỳ diệu của Toán học, mà mỗi chi tiết đều phản ánh một thực tế vật lý sống động đẹp đẽ đến mức kinh ngạc. Đó là những ví dụ hiếm hoi để thấy rằng vật lý không chỉ sống nhờ vào những phép tính gần đúng.
Sau khi đọc công trình của Wigner, tôi bắt đầu công cuộc tìm kiếm một nhóm đối xứng đơn là mở rộng của nhóm Poincaré. Một nhóm như vậy sẽ có một bất biến Casimir duy nhất, và như vậy sẽ có một công thức của khối lượng theo các đặc trưng như spin và một số đại lượng khác. Đó sẽ là lời giải đẹp đẽ cho phổ khối lượng của các hạt cơ bản, giống như các chuỗi phổ Lyman, Rydberg của nguyên tử hydro trong cơ học lượng tử. Nhóm đó cũng thống nhất đối xứng không thời gian với các thuộc tính nội tại của vật chất. Tôi hoàn toàn không biết khi đó người ta đã chứng minh được các định lý no-go, một nhóm Lie đơn như vậy không tồn tại. Tôi còn nhớ cảm giác hụt hẫng, đau đớn và thất vọng tột độ khi tìm được công trình của Coleman-Mandula chứng minh chặt chẽ, đơn giản và sắc bén định lý no-go. Điều đó có nghĩa là việc kết nối thế giới bên ngoài và thế giới bên trong là hoàn toàn vô vọng về mặt toán học.
Nhưng rồi tôi nhanh chóng tìm được công trình của Haag-Lopuszansky-Sohnius về khả năng vượt qua định lý no-go với các cấu trúc toán học mới gọi là đại số Lie phân bậc, với các tham số là các số Grassmann. Đó chính là cơ sở của một loại lý thuyết vật lý mới gọi là lý thuyết trường siêu đối xứng. Người ta cũng nhanh chóng tìm ra một cấu trúc không gian mới, gọi là siêu không gian, mở rộng của không gian Minkovsky bằng cách đưa vào các biến Grassmann. Siêu không gian làm tôi bắt đầu tin rằng, vật lý được xác định bởi một cấu trúc không gian có tô pô đặc biệt nào đó. Điều đó làm tôi nhớ tới cấu trúc không thời gian twistor của Penrose. Mỗi cấu trúc tô pô đặc biệt sẽ tiềm ẩn một số tính chất vật lý đặc biệt. Tôi đã vượt qua được hai thập kỷ 60-70 là thời kỳ lãng mạn của vật lý hiện đại. Tôi đã bỏ ra một năm để nhồi nhét các kiến thức của tô pô vi phân. Tôi có thời gian, vì đằng nào cũng không có gì để đọc. Tô pô vi phân là một cấu trúc đơn giản và đẹp đẽ, không biết nó thực sự như vậy hay nhờ cách trình bày tuyệt vời sáng sủa của John Milnor. Tôi chỉ tâm huyết nhất ba nội dung có liên quan đến vật lý: Thứ nhất, các đa tạp vi phân được mô tả nhờ các hệ tọa độ địa phương. Qua đó tôi mới hiểu sâu sắc được lý thuyết tương đối rộng của Einstein và hơn thế nữa là nhận ra một điều cái mình tưởng là đã hiểu rõ thật ra là chưa hiểu gì. Thứ hai, tô pô vi phân cũng chứng minh được các đa tạp có số chiều lớn hơn và nhỏ hơn 4 đều có thể phân loại được. Điều đó hoàn toàn phù hợp với việc trong vật lý, đa tạp không thời gian 4 chiều, là nơi chúng ta đang tồn tại mới gây nhiều vấn đề phiền toái. Khi đó, do được tư tưởng của Wigner dẫn dắt, tôi đã có thể tự mình đặt ra vấn đề, nếu không gian 4 chiều chỉ là một ảo giác, trong khi không gian vật lý thực có thể nhiều hơn 4 chiều, thì thế giới sẽ trở nên đẹp đẽ. Vật lý của những thập kỷ 80-90 thực tế đã đi theo con đường đó. Thứ ba, cấu trúc không gian phân thớ, đã kích thích trong tôi nhiều tư tưởng vật lý mới cho đến tận ngày nay. Trước hết, các lý thuyết bất biến đối xứng định xứ dùng phổ biến trong vật lý đều có cấu trúc không gian phân thớ. Tuy nhiên, tôi tin rằng còn có những cấu trúc tinh tế mang nhiều tính chất vật lý mới hơn. Dự cảm đó cũng thành sự thực trong những năm 90.
Trong những ngày đó, tôi có cơ hội ứng dụng tư tưởng đối xứng chi phối toàn bộ thế giới của Wigner vào thực tế Việt Nam. Hồi đó, cậu tôi là nhà văn Nguyễn Chí Trung, đang cùng nhà văn Nguyên Ngọc soạn thảo đề dẫn cho đại hội nhà văn. Tôi nghe lỏm được câu chuyện trao đổi của cậu với bố tôi, nhà văn Huy Phương, về việc đề dẫn phải cho phép tính đa dạng trong văn học, tránh rập khuôn, tuyên truyền một chiều, một kiểu hàng loạt như trong thời kỳ cũ. Tuy nhiên, đã có những tuyên ngôn của các lãnh đạo về việc nhà văn phải đặt cuộc sống cao hơn văn học. Các ông cũng nhắc đến việc có một nhà văn đi học Nga về trình bày việc ở Nga người ta cho phép văn học phong phú hơn đời sống. Ngay sau đó nhà văn nọ đã bị cách chức. Tôi cười xin phép bố và cậu có ý kiến "Ông nhà văn kia không tự bảo vệ được mình là vì không học Toán đến nơi đến chốn". Phải nói bố và cậu tôi tròn mắt thế nào khi nghe kết luận dở hơi của tôi. Tôi tiếp tục "Nói đặt cuộc sống cao hơn văn học tức là hàm ý văn học phải nằm trong cuộc sống. Con không biết điều đó có đúng không. Nhưng điều đó đã kéo theo đời sống phong phú hơn văn học. Cũng ví như tập các tam giác đều nằm trong tập các tam cân, chính vì vậy mà tam giác đều có nhiều thuộc tính hơn." Các cụ chịu cứng. Cậu tôi tấm tắc "Toán học tuyệt vời. Dùng tam giác có thể chứng minh được văn học phong phú hơn cuộc sống. Đề dẫn không còn vấn đề gì nữa".
Sau khi đề dẫn được báo cáo tại Đại hội nhà văn, tôi thấy cậu tôi bê một đống sách toán cao cấp về đọc. Nhưng nhiều khi cả một biển kiến thức chỉ có thể chắt lọc được một chút giá trị. Nhìn thấy cơ hội ứng dụng trong thực tế như vậy, cũng có thể là do đã có tư duy trực quan vật lý của Engene Wigner dẫn dắt. (còn nữa)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (1)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (1)
Vài lời phi lộ: 
Trước hết phải nói rằng, tôi phân biệt Toán học với hệ thống concept với Tính toán, mà đa số các nhà vật lý lý thuyết đã nâng lên thành nghệ thuật và không cần biết tới cơ sở của nó là gì.
Tôi có một niềm tin, chẳng có cơ sở lý luận nào cả, nhưng vô cùng vững chắc là các cuộc cách mạng về khoa học, tư tưởng của nhân loại đều bắt đầu từ việc hai người bạn Toán học và Vật lý gặp lại nhau sau một thời gian xa cách để đeo đuổi những ước vọng riêng. Chính ở thời điểm đó, hệ thống các khái niệm mới ra đời, mang theo tinh hoa tư tưởng đã chín muồi của thời đại. "Nguyên lý" của Newton đã ra đời cùng Giải tích toán học và thăng hoa cùng tư tưởng của thời đại giải phóng tư tưởng con người khỏi giáo điều thời trung cổ. Bất định luận Heisenberg ra đời gần như đồng thời với định lý Godel, đưa con người vào kỷ nguyên của điện tử, tự do, bình đẳng thực sự. Có lẽ, niềm tin đó bắt nguồn từ ba người: Nguyễn Hoàng Phương, Egene Wigner và Edward Witten. 
Nguyễn Hoàng Phương là người Việt Nam có bộ óc thông minh nhất mà tôi đã từng biết. Ông có một niềm tin trong trẻo và thơ ngây vào sự tồn tại của các cấu trúc phổ quát. Các cấu trúc đó vừa là Toán học vừa là Vật lý. Ông là người gieo vào tôi niềm tin vào các cấu trúc toán học luôn tồn tại dưới dạng một thực thể vật lý trong một điều kiện nào đó, dù ở trên trái đất, với mức năng lượng thông thường hoặc ở những vùng xa xôi nào đó của vũ trụ. Ông đã say mê với các số quaternions không giao hoán và khả năng của chúng trong việc mô tả cơ học lượng tử. Phải đến mười năm sau, tôi mới tìm thấy các công trình tương tự ở mức hoàn mỹ hơn. Nguyễn Hoàng Phương là người đam mê cái đẹp, ông không bao giờ chịu dừng chân để trau chuốt tinh luyện các mỏ quặng mà ông khám phá ra. Sau quaternions, ông đã say mê với các số octonions không kết hợp và khả năng thống nhất vật lý với thế giới sinh vật và tâm lý. Nhiều người không biết ông, nghĩ rằng ông là một người thừa ý tưởng, thiếu tri thức, tác giả của các lý thuyết broken pot. Riêng tôi, người đã có cơ hội tiếp xúc với ông nhiều giờ, biết chắc không phải vậy. Nguyễn Hoàng Phương là người hiểu sâu sắc Toán học và Vật lý, có kỹ thuật tính toán siêu việt và một nền triết học hết sức vững chắc. Có thể ông không để lại cho đời được những công trình khoa học thực thụ, chỉ vì quá đam mê vào một cấu trúc phổ quát cuối cùng, mà thời đại của ông chưa đủ điều kiện để ủ hương cho chín muồi. Nguyễn Hoàng Phương có một biệt tài, có thể trình bày mọi vấn đề trở nên hết sức đơn giản. Ông đã nói rằng có thể dạy tôi toàn bộ chương trình toán cấp 3 và năm đầu đại học trong 20 buổi. Tôi đã chọn con đường khác, tôi chưa bao giờ là học trò của ông, nhưng tôi biết ơn ông về một niềm tin có phần Platonist và cuốn sách về lý thuyết nhóm trong vật lý lượng tử của ông với giòng chữ "Cháu Việt, lao động để tư duy và sáng tạo là tồn tại". Tôi đã cố gắng đọc bộ sách của Nguyễn Hoàng Phương, và cũng phải nhiều năm sau đó tôi mới hiểu hết các khái niệm cũng như kỹ thuật trình bày trong bộ sách đó. Nhưng nó đã đưa tôi đến với Egene Wigner.
Tôi biết đến tư tưởng của Egene Wigner qua các bộ sách của Feza Gursey và Lichtenberg. Trong những năm cuối của đại học tôi vẫn chưa đủ sức đọc các tác phẩm của Wigner. Có lẽ Wigner là người đầu tiên đưa lý thuyết nhóm, một cấu trúc toán học trừu tượng nhưng vô cùng đơn giản vào vật lý một cách có hệ thống. Vật lý của những thập kỷ 40-70 trở nên đẹp lung linh, đều dựa trên tư tưởng sáng giá nhất thời sau Cơ lượng tử này của Wigner. Lý thuyết nhóm là lý thuyết toán học của các đối xứng, các bất biến và sau đó là các đại lượng vật lý bảo toàn. Giai đoạn sơ khai của vật lý là việc con người cố nhận thức được các quy luật, các tính chất đối xứng qua quan sát. Giai đoạn tiếp theo là việc phát triển các lý thuyết thực nghiệm (empirical) với trung tâm là các bất biến. Và cuối cùng là giai đoạn hình thành các lý thuyết hình thức, với các khái niệm mới gắn chặt với các quan hệ định lượng bảo toàn trong các hệ động lực phát triển theo thời gian. Trung tâm của việc nghiên cứu một hệ thống vật lý chính là việc theo dõi các đại lượng như thế trong quá trình tiến hóa. Một cách rộng hơn, lý thuyết nhóm còn là cơ sở của việc hình thành khái niệm trừu tượng và phân loại sự vật. Khái niệm một sự vật, như khái niệm con bò, là việc tổng hợp kinh nghiệm quan sát từ nhiều con bò, và có một tập hợp tính chất bất biến với việc thay đổi con bò này bằng một con bò cụ thể khác. Các phép thay đổi như vậy trên tập hợp con bò sẽ bất biến và tạo ra khái niệm con bò. Các khái niệm sẽ được tổng quát hóa hay cụ thể hóa nhờ việc mở rộng hay thu hẹp nhóm, tương đương với việc lược bỏ hay thêm vào các thuộc tính. Trong những năm 60, các công trình của Gell-Mann mở rộng nhóm đối xứng isospin SU(2) của Pauli-Heisenberg, thành nhóm SU(3) để phân loại các hạt cơ bản. Đáng kinh ngạc nhất là Gell Mann tiên đoán được sự tồn tại của hạt omega, với khối lượng đã tính toán chính xác được từ trước nhờ lý thuyết và được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Kết quả này làm người ta tin rằng lý thuyết nhóm sẽ đưa vật lý tới một thời kỳ huy hoàng như khi người ta tìm ra các hành tinh mới nhờ các công thức toán học thuần túy. 
Tôi chọn đi vào vật lý với những niềm tin thơ ngây như vậy, được củng cố bởi các nhà vật lý, các nhân vật lãng mạn của Fredrich Durenmatt. Tôi đã sống, làm việc như một con thiêu thân, trong những điều kiện vật chất tệ hại nhất mà đất nước đã phải trải qua trong thời kỳ hậu chiến. Nhiều năm sau, GS Kameshwar Wali, còn nhắc lại "Tôi vẫn còn nhớ các bản thảo của anh, với các công thức được viết trên những tờ giấy màu nâu". Đó không phải là việc đáng phàn nàn. Lớp những người nghiên cứu trẻ chúng tôi, chẳng có gì ngoài say mê khoa học như những kẻ dở người, mỗi tháng có hai chiếc bút chì, một xấp giấy trắng và 4 xấp giấy nâu, chỉ viết được trên một mặt. Kameshwar Wali đã đến Hà Nội trong những ngày đó, Nina Byer (chị ruột Judith Ladinsky) đã đến Hà Nội trong những ngày đó và Ed Cooperman cũng đã đến Hà Nội trong những ngày đó. Với mỗi người, tôi đều hỏi cùng một câu "chúng tôi nên làm gì?". Ed Cooperman là một nhà ngoại giao tiêu biểu hứa là sẽ cố gắng hơn nữa giúp Việt Nam với tư cách là Chủ tịch hội các nhà khoa học Mỹ ủng hộ Việt Nam và nói thêm "anh biết đấy, tôi không phải là nhà vật lý lý thuyết". Nina Byer, hỏi đi hỏi lại có mỗi một câu "anh đang tính cái gì trong vật lý". Bà thông cảm với khó khăn của tôi đến mức yêu cầu vị hôn phu cấp ngay cho tôi một học bổng nghiên cứu sinh tại UCLA (tất nhiên vào thời điểm đó, đây chỉ là một ý tưởng điên rồ). Kamesh Wali, chỉ cười và nói "Theo tôi, anh nên giải bài toán Fermat hoặc bài toán cầm tù quark. Đằng nào chúng tôi cũng sẽ không sớm có kết quả." (còn nữa)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (4)

Sau này công trình này của chúng tôi được Feza Gursey nhắc tới như là mô hình Viet-Tuyen. Điều mà tôi thấy thú vị nhất không phải là độ phù hợp với thực nghiệm của mô hình mà là cơ sở toán học của nó. Tôi vẫn mong ước có thời gian để trở lại với các hướng nghiên cứu này. Làm một người đam mê quá nhiều thứ cũng khó mà giải quyết các vấn đề đến nơi đến chốn. Nhưng điều chính, tôi vẫn cảm thấy tuy đây là hai góc lưới săn hổ, nhưng con hổ cần tìm, có lẽ không ở gần hai góc lưới này.

Khái niệm săn hổ là của Chia Tze, giáo sư đại học Virginia Polytechnique, học trò của Feza Gursey, tác giả của thuật ngữ skyrmion, truyền cho tôi. Chia Tze, có tên Việt là Tạ Gia Hùng, anh có 1/2 gốc Trung Quốc, 1/4 gốc Việt, 1/4 gốc Pháp. Anh sinh ra và lớn lên ở Hà Nội, rời Hà Nội năm 16 tuổi, di cư vào Nam, sang Pháp rồi đi Mỹ, còn nhớ cô gái nữ sinh trường Trưng Vương nào đó rất đẹp. Anh nói có một số người làm vật lý theo lối chăng lưới rộng rồi đi vòng vòng quanh bãi săn để đợi cơ hội bắt con mồi. Việc đánh bắt này rất mất công, và có thể không săn được gì, nhưng niềm sung sướng lớn nhất là cảm xúc đi vòng quanh sân săn hổ. Feza Gursey, Nguyễn Hoàng Phương, Witten, Wigner đều là người săn hổ và tôi là người muốn theo họ.

Nhiều khi tôi cũng tự hỏi xem con hổ đó thực ra là cái gì, và ít ra chúng tôi cũng phải biết một vài đặc điểm con mồi chúng tôi muốn tìm kiếm. Sau này tôi mới vỡ lẽ mỗi người có một hình dung khác nhau về con hổ mà mình đang săn. Đối với tôi, có lẽ đó là một lý thuyết giải quyết bài toán tương tác mạnh, đồng thời dựa trên một cấu trúc không thời gian, với các cấu trúc tô pô đặc biệt, là biểu diễn của các đối xứng nhất định theo một nghĩa suy rộng nào đó là tổng quát hoá của biểu diễn phi tuyến. Vấn đề của vật lý hiện nay có lẽ không phải việc thống nhất vật lý lượng tử với lý thuyết hấp dẫn của Einstein, các tích phân phân kỳ hay các lý thuyết thống nhất các tương tác. Tôi chẳng thấy băn khoăn gì nếu các vấn đề đó không được giải quyết, vì tôi cho đó là vấn đề của tư duy con người hơn là vấn đề của vật lý, của thế giới khách quan. Điểm yếu nhất của vật lý là lý thuyết ở các năng lượng khác nhau là các lý thuyết hoàn toàn riêng biệt, không có một sự chuyển pha thực sự "trơn tru" giữa lý thuyết này và lý thuyết kia. Vấn đề này có tính phổ quát, ví dụ người ta đã biết lý thuyết cho tương tác mạnh ở năng lượng rất cao chính là QCD tương tác khá yếu với nhau. Khi năng lượng giảm xuống, sẽ có hiện tượng vi phạm đối xứng tự phát và chuyển pha sang các quark-phản quark sẽ ngưng tụ thành các meson và baryon. Hiện nay chưa có cách gì "suy ra" lý thuyết cho meson và baryon từ lý thuyết QCD. Mặc dù cũng có một số hình thức luận trường hiệu dụng có thể suy ra một số số hạng đầu tiên, nhưng các lý thuyết này vẫn chỉ là các số hạng đầu tiên của một chuỗi vô tận. Cũng tương tự, trong vật lý chất rắn vẫn khó mà khó thể theo dõi một lý thuyết từ pha này chuyển qua pha khác.

Thời gian 4 năm ở Hungary trôi qua khá nhanh, do bận công tác giảng dạy, mưu sinh và chuẩn bị cho các cuộc phiêu lưu về phương Tây. Nếu ở lại Hungary có lẽ tôi đã có một vị trí giáo sư khá chắc chắn và một tài sản vật chất không tồi, nhưng tôi cần tiếp tục cuộc hành trình định mệnh của mình.

Trong thời gian này tôi bắt đầu làm quen với hình học không giao hoán của Alain Connes. Lần đầu tiên tôi đọc công trình của Alain Connes về hình học không giao hoán với đại số Z_2, tôi không thực sự rung động với kết quả về lý thuyết Salam-Weinberg và trường Higgs được xây dựng thuần tuý bằng hình học không giao hoán. Cái mà tôi để ý chẳng qua là phương pháp xây dựng hình học mới dựa trên một đại số nào đó có liên quan tới đối xứng mà người ta quan sát được. Tôi thực sự đến với hình học không giao hoán là nhóm của Kameshwar Wali và Feza Gursey có một hình thức luận cho mô hình Salam-Weiberg khác dựa trên đại số quaternion thay cho Z_2. Họ giao cho tôi việc siêu đối xứng hoá mô hình này, để chuẩn bị cho việc tôi đến làm việc tại Syracuse. Sau đó, tôi cũng đã có được một công trình ký tên chung với Feza Gursey lừng danh. Tôi không bao giờ được gặp mặt Feza vì ông mất không lâu sau khi công trình của chúng tôi được in và trước khi tôi đến Mỹ.

Sau khi tính toán lại một công trình của Wali và Gursey về lỗ đen, tôi đưa ra một nghiệm hoàn toàn khác mà trước đó nhóm này không thể tìm ra. Tôi đã đưa ra một phân tích toàn cục trước khi giải, do đó đã tìm ra một nghiệm gần điểm kỳ dị. Thắng lợi này cho phép tôi lấy được một chút tự tin, là với kiến thức toán học chuẩn bị thời ở Việt Nam, tôi đã giải được một bài toán mà các nhà vật lý lớn, có tiếng không giải được.

Với hành trang đó và trong thời gian Kamesh Wali nghỉ sabatical, tôi hoàn toàn tự do để vào một chiến dịch săn hổ thực sự: xây dựng hình học không giao hoán cho lý thuyết hấp dẫn của Einstein. Tôi bắt tay vào đọc công trình đầu tiên về đề tài này của Frohlich và Chamseddine. Tiếc thay công trình này là một định lý no-go: hình học Riemann không giao hoán không mang lại vật lý gì mới ngoài trường hấp dẫn của Einstein. Điều đó có nghĩa là chuyển từ hình học Riemann bình thường sang hình học không giao hoán Z_2 không mang lại nội dung vật lý gì mới. Lần đọc đầu tiên, tôi thấy chứng minh của Frohlich và Chamseddine hoàn toàn chặt chẽ, dễ hiểu. Tuy nhiên, có một điều gì đó, có thể là trực quan vật lý hoặc nhạy cảm toán học, nói với tôi rằng kết quả này không đúng. Tôi đọc lại thêm một lần nữa và cẩn thận tham khảo từng bước với các cuốn sách về lý thuyết hấp dẫn Einstein và tôi đã phát hiện ra Frohlich và Chamseddine đã phạm sai lầm khi phát biểu nguyên lý tương đương, và sử dụng sai công thức cho các hệ quy chiếu khác nhau. Sau khi điều chỉnh lại điều này, tôi thấy metrics của hình học giao hoán sẽ gồm metric của không gian 4 chiều thông thường, metric của không gian trong Z_2 là một hàm vô hướng và metric giữa không gian trong và không gian ngoài là một trường vector. Tôi đã tính đi tính lại độ cong của lý thuyết này tới 10 lần, do kết quả tôi nhận được chính là Lagrangian của lý thuyết Kaluza-Klein, lý thuyết hấp dẫn trong không gian 5 chiều. Lý thuyết này tôi đã nghiên cứu từ trước, là lý thuyết thống nhất tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ, bên cạnh đó hạt vô hướng là hạt Brans-Dicke. Cảm giác hồi hộp, vừa không tin ở kết quả lại đẹp đẽ như vậy, không tin mình lại vượt qua được Frohlich, người được tôn vinh là nhà vật lý toán lớn nhất đương thời, mà phải tính đi tính lại nhiều lần cho  chắc chắn. Tôi phải mất hơn nửa năm để tự thuyết phục mình là kết quả không còn sai sót. Thời gian đó A.Balachandra, một giáo sư rất nổi tiếng, ghé qua phòng tôi, nhìn đống giấy nháp và các công thức dài dằng dặc, thương hại nói với tôi "Tôi chưa thấy ai có tính toán đồ sộ như anh. Anh qua nhóm tôi. Chúng tôi có nhiều kết quả hay. Nhưng tính toán rất ít". Tôi bắt đầu tham gia thảo luận với nhóm của Balachandra, nhưng vẫn tiếp tục tính toán. Khi có kết quả cuối cùng, tôi nói với Landi, một tiến sĩ Toán trong nhóm của Balachandra "Tôi có một kết quả rất hay. Hình học không giao hoán của Connes áp dụng cho hấp dẫn có kết quả giống hệt lý thuyết Kaluza-Klein, thống nhất được với trường điện tử. Tôi muốn mời anh tham gia. Trước hết anh kiểm tra hộ tôi xem có sai sót gì về Toán học và tính toán." Rất nhanh, Landi đã kiểm tra lại các tính toán của tôi và khẳng định rằng kết quả hoàn toàn đúng. Anh ta thích thú đến nỗi đi khoe khắp nơi về công trình này. Balachandra, mời tôi thuyết trình cho nhóm của ông về hình học không giao hoán, vì khi đó nhóm của ông cũng bắt đầu cần tới công cụ toán học này. Dưới ánh sáng của kết quả vừa nhận được, tôi đưa ra một cách tiệm cận hết sức mới mẻ về hình học không giao hoán mà sau này các nghiên cứu sinh của Balachandra nói rằng, chúng tôi đọc hàng năm trời mà không hiểu tư tưởng chính, thấy phức tạp và rối rắm. Anh đã nói trong một tiếng đồng hồ, chúng tôi đã hiểu ra vấn đề. Tôi cho rằng lý thuyết của Connes chính là discrete hoá lý thuyết Kaluza-Klein. Thay vì một vòng tròn, chiều thứ 5 được discrete hoá thành 2 điểm và trang bị một đại số Z_2. Về nguyên tắc người ta có thể thay thành 4 điểm và trang bị đại số quaternion,... Khai triển điều hoà theo chiều thứ năm discrete sẽ ra các nội dung vật lý mới, không có gì lạ. Tôi gửi đăng công trình trên Phys.Letters B, công trình do Chamseddine phản biện, nên cũng rắc rối, vì anh ta khăng khăng về định lý no-go là vì tôn trọng Frohlich, tôi không thể chỉ ra điểm sai của họ. Cũng may vì có Wali đồng tác giả, chúng tôi thành công trong việc thuyết phục Chamsedine, là chúng tôi có một cấu trúc toán học hoàn toàn khác nên mới có kết quả như vậy.

Sau công trình này và bài giảng cho nhóm Balachandra, tôi nhận thấy lý thuyết của tôi còn có thể tổng quát hoá được tiếp tục. Do metrics trong không gian 4 chiều, các trường vector và vô hướng trong lý thuyết còn có thể là các hàm của không thời gian 4 chiều và chiều discrete Z_2. Nếu khai triển theo chiều Z_2 các hàm này chúng ta sẽ có các cặp metrics 4 chiều, cặp vector, cặp vô hướng. Trong mỗi cặp một trường sẽ có khối lượng một trường sẽ không có khối lượng. Tôi và Wali đã viết một loạt bài về vấn đề này trong vài năm sau đó.

Tôi cũng xây dựng lại hình thức luận của Connes cho lý thuyết Salam-Weinberg-Glashow và đã đưa ra tiên đoán khối lượng top quark sau khi nhóm thực nghiệm ở CERN công bố họ tìm ra hạt này đúng 1 tuần, mức chênh lệch là khoảng 1.5%, trong sai số cho phép. Tại hội nghị 4 trường đại học Bắc Mỹ, rất nhiều người quan tâm tới kết quả kỳ lạ này. Sau đó tôi cũng tính được khối lượng Higgs vào cỡ 254 GeV. Điều thú vị nhất là các tính toán các đại lượng thực nghiệm lại đến từ một lý thuyết toán học hết sức trừu tượng.

Để chứng minh lý thuyết của mình có tính phổ quát khắp mọi nơi, tôi có ý tưởng xem xét các hệ 2 chiều, cho hiều ứng Hall lượng tử. Ứng dụng phương pháp của hình học không giao hoán, tôi đã dựng lại lý thuyết của Anthony Zee. Tôi đã nhờ Varghese John, một post-doc, chuyên nghiên cứu vật lý chất rắn đọc lại. Anh ta đã giải thích cho tôi nghe về vật lý của hệ hai chiều, trong đó có rất nhiều tư tưởng có thể áp dụng cho vật lý năng lượng cao.

Tôi phải chia tay vật lý khi đã nắm trong tay một lý thuyết thống nhất tất cả các tương tác, trên cơ sở hình học Riemann không giao hoán. Chắc chắn lý thuyết này có nhiều điều rất thú vị. Thậm chí mô hình thế giới với một cặp metric có khối lượng và không có khối lượng chắc chắn có nhiều hiệu ứng thú vị có thể khai thác. Tôi chia tay vật lý vào những năm cuối của thế kỷ trước để bắt đầu một cuộc săn khác, với say mê nhiệt tình như buổi ban đầu. Dù các chân trời mới có hấp dẫn thế nào đi nữa, tôi tin một ngày kia tôi sẽ trở lại với bãi săn cũ, cho dù biết không có con hổ nào như tưởng tượng ban đầu của mình.

 Cuộc cách mạng tư tưởng của thế kỷ 20 đã không diễn ra. Cuộc gặp gỡ của Toán học và Vật lý vào cuối thế kỷ đã không mang lại cuộc cách mạng trong vật lý, toán học và khoa học nói chung. Cuộc đi săn hổ của thế hệ chúng tôi đã kết thúc tay trắng. Trước mặt chúng tôi là một sa mạc mênh mông, sẽ không có gì thực sự mới lạ cho đến tận mức năng lượng Plank. Trong cuộc đi săn hổ này, có lẽ Witten có trách nhiệm một phần. Chính ông là người giăng lưới lớn nhất. Có lẽ, chúng tôi cần phải nghe Wolfram nhiều hơn, người khẳng định đã đến lúc phải làm New Kind of Science. Tuy vậy, tôi sẽ không bao giờ hối tiếc vì đã giành hơn 30 năm cho một cuộc săn hổ đầy cảm xúc với những con người tuyệt vời, được tiếp xúc với những ý tưởng đỉnh cao của nhân loại. Tôi được lợi gì? Có lẽ nên nhắc lại lời thầy của tôi, Lovas Istvan "Bớt ngu ngốc dốt nát, tại sao lại không có lợi." (hết)

Chỉ là chuyện nhân lũy thừa

Viết lại post này vì muốn chọc ngoáy các thầy Toán Lý mà lại viết như để riêng cho các thầy thì lấy đâu ra người đọc.

  CHỈ LÀ CHUYỆN NHÂN LŨY THỪA

 Nhân lũy thừa, chỉ đơn giản là a^x a^y = a^(x+y), với các số thực x, y, học sinh phổ thông nào cũng biết. Nhưng để chứng minh nó, chắc các học sinh giỏi cũng ngắc ngứ. Có lẽ đó là phần xấu xí nhất trong chương trình toán phổ thông. Nhưng có lẽ nhờ thế, tôi có được một số trong những bài báo thú vị nhất của mình.

 Trước tiên, có lẽ phải cảm ơn thầy giáo dạy toán của tôi là thầy Đặng Quan Viễn, là người đã cố gắng chứng minh công thức đó cho chúng tôi bằng gần hết thời lượng của một học kỳ dạy đại số. Tất nhiên, chứng minh của thầy hoàn toàn thất bại trong khuôn khổ kiến thức của chương trình trung học thời bấy giờ. Nhưng việc thấy được điểm khập khiễng này cũng đã là một điều vĩ đại vào lúc bấy giờ, và làm tôi kính phục thầy hơn rất nhiều nhà chuyên nghiên cứu Toán đương đại.

 Có lẽ ít ai để ý tới công thức nhân lũy thừa nói trên, bởi vì công thức là hiển nhiên với các số mũ nguyên, thậm chí với các số mũ hữu tỷ. Nhưng chứng minh, dựa trên định nghĩa về lũy thừa với một số mũ thực là giới hạn của các lũy thừa với số mũ hữu tỷ, khi giới hạn chỉ mới được giới thiệu qua một số chuỗi hội tụ, có lẽ là một việc bất khả thi. Trong wikipedia, cũng chỉ buông một câu rất "phản toán" là "vì các số vô tỷ là giới hạn của các số hữu tỷ" nên lũy thừa với số mũ thực là giới hạn của lũy thừa của số mũ hữu tỷ. Nếu học sinh cũng áp dụng lý luận lười biếng đó đó cho số mũ phức thì sẽ có những rắc rối.

Có những người may mắn sẽ thoát nạn, có những người đã phải trả giá bằng cả một sự nghiệp khoa cử. Tôi biết có một học sinh giỏi, rất sáng giá và có chí lớn, sau khi bị đánh trượt môn đại số chỉ vì không làm được khai căn bậc n của 1 trên trường số phức, nản chí học hành và trở thành một học sinh làng nhàng, có lẽ chỉ bị ảnh hưởng quá nặng bởi những lý luận qua loa như trên. Tai nạn đó rõ ràng mang tính ngẫu nhiên, bởi nếu hôm đó mụ thần may mắn không bắt anh gắp trúng đề thi đó, hôm nay biết đâu đã có bao nhiêu thế hệ học sinh được nghe một thêm một giáo sư khả kính rao giảng những kiến thức cao siêu.

 Cũng may, học sinh bị giáo trình lấp liếm, chứ nếu đặt câu hỏi "tại sao giới hạn đó lại tồn tại", "có chắc là luôn luôn tồn tại không",... các thầy khéo mà đau đầu. Cũng may, chương trình của ta chỉ chú trọng thợ làm toán, không chú ý đến người suy nghĩ, đặc biệt là đa số sẽ làm ở ngành khác, không mang huy chương về cho nước nhà, ít suy nghĩ một chút cũng tốt. Chắc chắn để trả lời các câu hỏi đó cho thỏa đáng các thầy sẽ phải nói về mở rộng số nguyên sang số hữu tỷ, tính trù mật khắp nơi của các số hữu tỷ, tính sắp được của trường số thực, tính liên tục của hàm lũy thừa.

Quá nhức đầu, thách đố chẳng khác gì trả lời câu hỏi cho học sinh tiểu học "em bé sinh từ đâu ra". Tôi cho rằng, đối với cả hai vấn đề toán và sinh vật trên, đều phải theo nguyên tắc, không dạy thì thôi, dạy là phải đầy đủ. Không dạy những thứ nhảm nhí như em bé đẻ ra từ nách. Như vậy, công thức trên có thể dạy dưới dạng quy tắc ở các lớp dưới, không cần dạy sau phần giới hạn chuỗi. Hoặc nếu đã dạy thì cần dạy đến nơi đến chốn việc mở rộng số, khái niệm giới hạn, liên tục,... trên ví dụ là hàm lũy thừa.

 Hàm lũy thừa có thể mở rộng với các số mũ là các ma trận hoặc các toán tử. Vật lý cổ điển chuyển sang vật lý lượng tử có thể hiểu một cách đơn giản là thay thế các số bằng các ma trận hoặc toán tử để mô tả các đại lượng vật lý. Chẳng hạn với hàm lũy thừa với cơ số e, với các số mũ là các ma trận thì công thức nhân lũy thừa exp(A) exp(B) = exp(A+B), chỉ đúng khi các ma trận A, B giao hoán AB= BA. Công thức đúng trong trường hợp tổng quát hơn, khi A và B không chắc là giao hoán, là đồng nhất thức Cambell-Haussdorf exp(A) exp(B) = exp(A+B+ 1/2[A,B]) trong đó [A, B] = AB-BA. Và thực ra, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf cũng chỉ đúng nếu [A,[A, B]] = 0 = [B,[A, B]] hoặc hạn chế áp dụng trên một tập hợp các ma trận có tính kết hợp, như quaternion. Với các số không kết hợp như octonion (số Calley), công thức Cambell-Haussdorf cần tiếp tục bổ sung thêm các phần tử mới, và biểu thức ở vế phải của đồng nhất thức Cambell-Haussdorf có thể kéo dài vô tận. Và các cấu trúc mới sau tính kết hợp có thể sẽ được hiểu mỗi khi ta muốn chấm dứt vế phải của đồng nhất thức này ở một bậc nào đó của các ma trận A, B. Nói một cách khác, công thức nhân lũy thừa chỉ là xấp xỉ tuyến tính của đồng nhất thức Cambell-Haussdorf suy rộng.

 Nhân đây cũng cần nói thêm về các nguyên tắc của việc tổng quát hóa. Tổng quát hóa là một phương pháp luận, không phải chỉ có ý nghĩa với các nhà toán học. Trong cuộc sống thường ngày, tổng quát hóa cho phép áp dụng các kiến thức đã biết để giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực mới lạ. Nhưng cần phải có thao tác nhất định chứ không thể luôn luôn "ăn may" như trong công thức nhân lũy thừa của số mũ thực.

Tổng quát hóa, theo lối máy móc, có thể có sự góp phần của các thày dạy Toán đặc biệt ở việc nhân chuỗi lũy thừa, đang trở thành phương pháp luận phổ biến như chụp mũ, chủ nghĩa lý lịch, nâng quan điểm để những tên hoạt đầu chính trị trục lợi. Chúng ta đã quá dị ứng với những lý luận "anh nói thế chứng tỏ là anh...", "gia đình anh như thế chứng tỏ anh cũng như vậy...", "anh làm việc nọ chứng tỏ quan điểm anh thế kia".... Suy nghĩ cho cùng về mặt logic, những lý luận đó cũng chẳng kém việc dùng công thức nhân lũy thừa cho số mũ nguyên.

 Có một nguyên tắc khác của tổng quát hóa là phải có một motivation. Có nhiều rất nhiều thầy tiêu phí cả đời vào việc tổng quát hóa vô bổ. Các thầy rất sẵn ý tưởng, luôn luôn đủ cung cấp cho hàng trăm học sinh, tổng quát hóa ABC sang XYZ. Nghe thì rất rắc rối, cao siêu nhưng chung qui rất kém sáng kiến, không hơn gì "trong giáo trình đã dạy nhân hai số có 2 chữ số, học trò tôi đã tổng quát hóa nhân hai số có n<5, đề nghị anh tổng quát hóa cho n<7, n >6 là vấn đề hết sức vĩ đại to lớn mà nhân loại sẽ còn phải giải quyết".

Tôi nhận thức được, loại tổng quát hóa vô nguyên tắc sẽ đi đến những tri thức hiển nhiên qua định luật Hook. Định luật Hook phát biểu là độ giãn dx của một thanh vật chất đàn hồi tỷ lệ tuyến tính với lực kéo, khi lực kéo bé. Định luật Hook thứ hai cho thấy sự phụ thuộc bậc 2. Nếu tổng quát hóa đến cùng chẳng qua chỉ là khai triển Taylor của một hàm giải tích, và chẳng dùng được gì trong thực tế. 

Khi có motivation, tổng quát hóa sẽ phải theo từng bước, để kiểm chứng lại motivation, đừng để bị lệch hướng vào các tổng quát hóa vô bổ hoặc để sự lười biếng của trí tuệ lẻn vào, như việc nhân lũy thừa số thực. Nếu suy nghĩ đúng hướng, một vấn đề như nhân lũy thừa có thể kết nối với những vấn đề rất thú vị của toán học hiện đại. Một nhà toán học có những công trình xuất sắc không phải suốt ngày nghĩ đến các chuyện quái gở, suy nghĩ kiểu quái vật, thao tác bất thường, dùng các công cụ quái khủng. Họ cũng suy nghĩ bắt đầu từ những ý tưởng bình dị, như bất cứ một vấn đề ứng dụng thực tế nào, chỉ có điều họ đi rất sâu, phân tích rất kỹ và có những motivation xuất sắc để khỏi trệch hướng.

Tôi muốn kể một kinh nghiệm cụ thể cũng chỉ liên quan đến việc nhân lũy thừa để minh họa điều đó. Các phép biến đổi liên tục thường được biểu diễn bằng các biểu diễn hàm mũ với cơ số e. Chẳng hạn phép tịnh tiến trong không gian Eulide n chiều với vector a có thể viết f(x) --> f(x+a) = T(a) f(x) = exp (i a d/dx) f(x). Thực ra chỉ là một khai triển Taylor và dùng mở rộng công thức chuỗi của hàm mũ cho toán tử đạo hàm d/dx. Biểu diễn phép tịnh tiến như vậy đảm bảo tính đồng phôi T(a1+a2) = T(a1) T(a2), do công thức nhân lũy thừa là đúng khi mở rộng cho toán tử đạo hàm. Lý do như chúng ta đã thấy từ đồng nhất thức Cambell-Haussdorf, là các đạo hàm là giao hoán với nhau. Khi chuyển sang các không gian cong Riemann, các đạo hàm được thay bằng các đạo hàm hiệp biến D= d/dx+A(x) nhờ một đại lượng A(x), mà các nhà toán học gọi là liên thông, các nhà vật lý gọi là thế. Các đạo hàm hiệp biến buộc phép tịnh tiến bám chặt trên mặt đa tạp, chứ không đi thẳng ra ngoài. Các đạo hàm này không giao hoán. Do đó, phép biểu diễn tịnh tiến T(a) = exp(i a D) sẽ không còn cấu trúc đồng phôi như đã nói. Sử dụng đồng nhất thức Cambell-Haussdorf, ta sẽ có T(a1) T(a2) = alpha(a1, a2, x, 2) T(a1+a2). Đại lượng alpha (a1,a2,x,2), gọi là 2-cocycle là một khái niệm về đồng điều trong tôpô. Tương tự T(a1)T(a2)... T(an) = alpha (a1,a2,..., an, x, n) T(a1+a2...+a3) là các n-cocycle.

Các cocycle được chứng tỏ trong một công trình của tôi viết năm 1987 là các tích phân vòng quanh đa diện có các đỉnh là x,a1,a2,..,an và có ý nghĩa toán học là các đặc trưng tô pô, và ý nghĩa vật lý là các đại lượng vật lý đo được. Chẳng hạn 2-cocycle liên quan đến một hiệu ứng thực nghiệm rất nổi tiếng là hiệu ứng Bohm-Arahonov, được công ty Hitachi đầu tư nhiều để quan sát thực nghiệm. 3 và 4-cocycle, liên quan đến các lớp đặc trưng Chern-Simons, Chern-Pontrijagin,... có thể quan sát thông qua các đối tượng vật lý như đơn cực từ, soliton, lỗ đen,...

 Nói một cách khác, trong thực tế, có nhiều hoàn cảnh, biểu diễn tuyến tính không còn sử dụng được. Do tương tác vật lý, các cấu trúc toán học bị "biến dạng", tương tự công thức nhân lũy thừa bị biến dạng thành đồng nhất thức Cambell-Haussdorf theo nhiều bậc. Biến dạng hình học có thể đo bằng các cocycle, và sự tồn tại của cocycle ở các bậc, một cách bí ẩn nào đó lại liên quan đến các tính chất đại số như giao hoán, kết hợp,... Từ đó chúng ta có thể nghĩ tới các khái niệm toán học của biểu diễn biến dạng, từng bước một được phân loại bằng cocycle, và mỗi bước đánh dấu bằng sự tồn tại của các đối tượng vật lý có thể quan sát được.

 Biểu diễn tuyến tính không phải là công cụ toán học duy nhất để các nhà vật lý nghiên cứu các nhóm biến đổi liên tục. Từ những năm 60-70 của thế kỷ trước, các nhà vật lý đã sử dụng khái niệm biểu diễn phi tuyến cho một nhóm đối xứng Lie bất kỳ trong vật lý. Biểu diễn này có thể mô tả các hệ thống vật lý bị vi phạm tự phát. Tôi đã sử dụng biểu diễn này để xây dựng thành công một mô hình cải tiến cho hạt nucleon vào năm 1989. Mô hình này cho kết quả phù hợp với thực nghiệm tốt hơn các kết quả do nhóm của Giáo sư Edward Witten tại Princeton, trên cơ sở của mô hình cũ.

Từ một công thức nhân lũy thừa đơn giản, mà một học sinh trung học cũng có thể hiểu dễ dàng, nếu phân tích thật kỹ vẫn có thể thấy cả một thế giới với các tri thức toán học, vật lý tiên tiến nhất. Đặc biệt, các cấu trúc toán học khác nhau được sắp xếp một cách có trật tự, và bằng một cách huyền bí nào đó, các sản phẩm của trò chơi tư duy, đều lần lượt xuất hiện trong tự nhiên dưới một dạng nào đó. Khi thực nghiệm tìm ra hạt W, hình như Salam có nói một câu gì đó tương tự như "không thể tin được đó là sự thực". Cho đến nay thì các cấu trúc toán học điên rồ, nhất cũng đều lần lượt xuất hiện trong tự nhiên. Vì sao có sự phù hợp như vậy giữa tổ chức vật chất trong vũ trụ với những ảo ảnh sinh ra nhờ các phản ứng sinh hóa trong não bộ của một động vật cao cấp. Đó vẫn là bí ẩn lớn nhất của cuộc đời tôi mặc dù vẫn còn nhiều điều phải lo toan.

Nhân lũy thừa, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf và mở rộng các khái niệm

NHÂN LŨY THỪA VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC CAMBELL-HAUSSDORF

Trong chương trình toán sơ cấp, có một miếng vá víu xấu xí, trình bày rất vụng về mặt logic mà ít ai để ý là công thức nhân lũy thừa của các số thực đơn giản a^x a^y = a^(x+y). Công thức này được hầu hết các học sinh thừa nhận hiển nhiên từ công thức nhân lũy thừa cho số nguyên a^n a^m = a^(m+n).

Tôi nhớ đã từng thắc mắc vì thấy không thể nào chứng minh được công thức nhân lũy thừa cho số thực từ định nghĩa ban đầu của nó. Thầy dạy toán của tôi thời đó là thầy Đặng Quan Viễn có lẽ là một nhà nghiên cứu giỏi hơn là một nhà sư phạm đã dành gần hết thời gian một học kỳ cho môn Đại số để chứng minh công thức này. Tôi còn nhớ nhiều khi thầy đứng cả nửa tiếng trước bảng một mình, mặc cho lũ học sinh cá biệt chúng tôi phá quấy, chuyện riêng, đánh cờ ca rô búng tay, vẩy mực vào áo nhau, ném giấy về phía bọn con gái. Bọn học sinh ngoan thì bối rối vì mách thầy là vô hiệu. Có lẽ chỉ có mình tôi vừa tham gia quậy phá tích cực vừa để ý tới thầy. Nhận thức được khó khăn này trong giáo trình, có lẽ là điểm tôi học được, luôn kính trọng và biết ơn thầy trong suốt quãng đời làm khoa học của mình. 

Về định nghĩa của lũy thừa của một số thực a, trước hết được định nghĩa lũy thừa số nguyên dương n là tích n lần của a: a^n = a.a....a (n lần). Khi đó công thức nhân lũy thừa là hiển nhiên.  Sau đó, người ta mở rộng lũy thừa cho số nguyên âm -n là nghịch đảo của a^n   a^(-n) = 1/a^n. Rồi tiếp tục mở rộng lũy thừa với số mũ hữu tỷ n/m  là a^(m/n) căn bậc n của a^m.

Việc mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực dạy rất sơ sài, gần như cho qua chuyện, do đó học sinh hoàn toàn không thấy lý thú một chút nào. Đặc biệt, công thức Moivre, gần như là nhồi sọ, vì không hề có bất cứ định nghĩa nào về lũy thừa với số mũ phức. Tuy nhiên, có lẽ cần dành thời lượng nhiều hơn và một cách dạy lý thú, động não hơn về phần này. Đây là một cơ hội để học sinh tiếp cận với việc mở rộng khái niệm toán học, có lẽ thao tác này sẽ là cơ bản đối với các nhà toán học tương lai, và nếu dạy khéo, sẽ là một kỹ năng cao cấp đối với những người không làm toán.

Trong giáo trình toán phổ thông cũ, thậm chí trên Wikipedia phần tiếng Việt, lũy thừa với số mũ được định nghĩa là giới hạn của lũy thừa số hữu tỷ "vì số thực là giới hạn của số hữu tỷ". Như vậy  a^x = lim a^b khi b --> x.  Phải nhận ra là mệnh đề "vì..." nói trên hoàn toàn vô nghĩa, trước hết mệnh đề đó không đảm bảo giới hạn là tồn tại. Do đó, nếu có học sinh giỏi toán nào để ý học phần này, thì hoàn toàn chỉ làm hại thần kinh của mình và thấy kiến thức sách giáo khoa không còn gì là thiêng liêng. Để hiểu sâu sắc được phần này, chắc chắn phải động đến các khái niệm cơ bản của toán giải tích như lát cắt, tính trù mật của trường số thực,....  Do đó cũng thật khó khăn để có thể giải thích kỹ càng phần này. Tuy vậy, theo quan điểm của tôi, đã dạy thì phải có nguyên tắc, không thì thôi, không dạy nửa vời phản logic. Phần giới hạn đã cho học sinh hiểu là giới hạn không chắc đã tồn tại, thì phần này không thể dạy như vậy. Để khắc phục, có một cách là khái niệm lũy thừa của số vô tỷ ra chỗ khác để đừng liên quan đến giới hạn, chẳng hạn có thể đưa vào chương trình sớm hơn, dưới dạng các quy tắc. Tương tự như việc nhân hai số thập phân hoặc hai số vô tỷ, chẳng ai căn vặn gì nhiều vì quy tắc là quy tắc, chỉ việc học và áp dụng. Chính quy tắc thể hiện định nghĩa dưới hình thức thực nghiệm (empirical).

Ở chương trình lớp trên hoàn toàn đủ thời gian và cần thiết để dạy một số khái niệm của toán giải tích, có thể bằng một ngôn ngữ sơ cấp trực quan và sống động, yêu cầu động não, tránh nhồi nhét về tính hội tụ và phân kỳ, tính chất trù mật, sắp được của số thực, khái niệm liên tục. Chẳng hạn, có thể dạy về việc mở rộng khái niệm số, nhấn mạnh phương pháp luận, nguyên tắc của việc mở rộng và giải thích yêu cầu thực tế cũng như ích lợi của việc mở rộng. Một hệ quả của việc không rèn luyện cẩn thận về phương pháp luận và nguyên tắc của việc mở rộng là việc Việt Nam nhan nhản những nhà khoa học mở rộng, tổng quát hóa vô nguyên tắc, chẳng biết mình đang làm gì. Từ tổng quát hóa vô nguyên tắc của nhà khoa học, tới việc chụp mũ, ngụy biện lươn lẹo, nâng quan điểm của các những người có chút quyền lực hay của toàn xã hội cũng chỉ cần thêm vào chút bả lợi ích và phát lộ bản năng chà đạp lẫn nhau. Biết đâu việc dạy toán cũng có phần trách nhiệm với xã hội hôm nay.

Việc mở rộng số thực sang số phức ở trường phổ thông hoàn toàn mang tính quy ước dưa trên ký hiệu i là căn bậc 2 của -1, mà không có một cơ sở phương pháp nào cho phép cộng nhân ký hiệu đó với số thực. Trong khi đó, chỉ cần có một khung phương pháp tốt về mở rộng, việc dạy số phức và công thức Moivre hoàn toàn không khó và đáng ra có thể mang lại lợi ích suốt đời cho học sinh phổ thông.

Đối với cá nhân tôi, công thức nhân lũy thừa vẫn còn ám ảnh đến bây giờ và suy nghĩ về nó vẫn còn có ích. Trong toán học không có gì là hiển nhiên bất biến cả. Nếu học toán để rồi nghĩ rằng các tín điều hiển nhiên trong xã hội là bất khả xâm phạm, thì có lẽ xã hội đã sai lầm đầu tư cho bạn đi học và làm toán.  

Việc mở rộng công thức nhân lũy thừa có thể tiếp tục với các đối tượng rộng hơn số phức, chẳng hạn là với số mũ là các ma trận, toán tử hoặc các số siêu phức như quaternion, octonion (số Calley) hoặc các số Grassmann, Clifford. Trong Vật lý, việc sử dụng các đại lượng lấy giá trị mở rộng như vậy có từ thời phát minh ra cơ lượng tử, khi người ta hiểu rằng muốn mô tả các đại lượng thăng giáng ngẫu nhiên phải nhờ đến các ma trận hoặc các toán tử có thể không giao hoán như các số.

Công thức nhân lũy thừa đối với ma trận thường gọi là đồng nhất thức Cambell-Haussdorf. exp(A) . exp (B) = exp (A+B+ 1/2[A, B]).  Trong trường hợp 1/2[A, B] là một số, ta có exp(A) exp(B) = exp (1/2[A, B]) exp (A+B).  Tức là phép nhân lũy thừa không còn tương ứng 1-1 với phép cộng số mũ nữa. Đối với các toán tử nói chung, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf chỉ đúng khi tập hợp các toán tử là kết hợp, tức là [A, [A, B]] = 0 = [B, [A, B]]. Một học sinh giỏi toán có thể đặt ngay câu hỏi nếu các toán tử không thỏa mãn điều kiện kết hợp thì công thức nhân lũy thừa Cambell-Haussdorf sẽ ra sao. Có thể trả lời trước là công thức tổng quát Cambell-Haussdorf-Hubbard là một chuỗi vô tận, có thể dừng lại nếu đưa ra giả thiết nhất định. Như vậy đồng nhất thức này có thể dùng để hiểu việc mở rộng các cấu trúc toán tử, khi có yêu cầu thực tế.

Lấy một ứng dụng cụ thể là toán tử đạo hàm. Đạo hàm chính là toán tử sinh ra phép tịnh tiến F(x) --> F(x+a) nhờ công thức Taylor viết dưới dạng F(x+a) = e^(a^\mu \partial_\mu) F(x). Toán tử e^(a^\mu \partial_\mu) là biểu diễn của phép tịnh tiến. Trên không gian Euclide n-chiều, do các đạo hàm giao hoán nên không có gì lý thú liên quan đến đồng nhất thức Cambell-Haussdorf khi nhân lũy thừa, hay thực hiện hai phép tịnh tiến liên tiếp.

Chúng ta hãy xét các không gian ( nói một cách toán học là đa tạp nhưng dùng không gian cho đỡ tốn bộ nhớ vì khái niệm) Riemann. Khi đó có các toán tử đạo hàm hiệp biến D_\mu = \partial_\mu + i A_\mu(x) với A_\mu(x) gọi là liên thông, chính là các trường vật lý có thể quan sát được. Đạo hàm hiệp biến là toán tử không giao hoán  [D_\mu, D_\n] = F_{\mu \nu} đại lượng F_{\mu \nu} chính là cường độ của trường vật lý, ví dụ như điện trường và từ trường xuất hiện là nhờ tính không giao hoán của phép tính tiến. Nói một cách khác, các trường vật lý như điện và từ trường đã phá vỡ tính giao hoán của các phép biến đổi tịnh tiến. Như vậy, tính giao hoán bị tự nhiên phá vỡ trước khi nói đến lượng tử.

 Phép tịnh tiến trên không gian Riemann được biểu diễn bằng toán tử e^(a^\mu D_\mu) và ta có e^(a^\mu D_\mu) F(x) = alpha (a, x) F(x+a).  Thừa số alpha(a,x) xuất hiện và gọi là 1-cocycle, là một đại lượng đo sự méo đi của không gian, được nghiên cứu trong một nhánh của tô pô là lý thuyết đồng điều. Như thế, các tư tưởng của toán học hiện đại xuất hiện hết sức tự nhiên, mà một học sinh trung học, nếu được dạy đúng cách, có thể hiểu dễ dàng.

Áp dụng liên tiếp hai lần phép tịnh tiến theo vector a1 và a2 chúng ta có exp (a1^\mu D_\mu) exp(a^\nu D_\nu) =  \alpha(a1, a2, x, 2) exp((a1+a2)^\mu D_mu).   Trong đó \alpha(a1,a2,x, 2) gọi là 2-cocycle. Ở đây chúng ta bắt buộc phải dùng công thức Cambell-Haussdorf để tính \alpha(a1,a2,x,2). Ở đây có rắc rối một chút, nhưng 2-cocycle có thể tính ra được bằng tích phân vòng theo chu vi của tam giác với các đỉnh x, x+a1, x+a1+a2 theo cường độ trường nói ở trên. Áp dụng công thức Gauss-Stokes, tích phân đó không triệt tiêu nếu trong tam giác đó có các đường sức đi qua. Áp dụng trong vật lý, ta sẽ thấy một hiện tượng không bình thường: nếu một hạt mang điện chuyển động trong một không gian, trên đường đi có thể không có tác động nào của trường vật lý, nhưng nó sẽ cảm thấy được cái trường vật lý đó, khi chuyển động theo hai đường đi khác nhau nhờ 2-cycle. Trong vật lý đây gọi là hiệu ứng Bohm-Arahonov phát hiện trong những năm 70 của thế kỷ trước và được công ty Hitachi đầu tư để thực nghiệm.

Quay trở lại việc tiếp tục mở rộng đồng nhất thức Cambell-Haussdorf cho các toán tử không kết hợp, chúng ta có thể áp dụng ba phép tịnh tiến liên tiếp.

     exp(a1^\mu D_mu) exp(a2^mu D_\mu) exp (a3^\mu D_\mu) = \alpha(a1,a2, a3, x, 3) exp((a1+a2+a3)^\mu D_mu) với alpha (a1,a2,a3,x,3) là 3-cocycle. Tương tự ta có các cocycle bậc cao hơn và tính được chúng qua các lớp đặc trưng Chern-Pontrijagin, Chern-Simon của các không gian Riemann và chúng có các ý nghĩa vật lý là các nguồn vật chất đặc biệt như đơn cực từ, soliton,... Đó là công trình đầu tiên của tôi viết độc lập tại Việt Nam được đăng trên một tạp chí ISI.

    Điều đáng nói là về kỹ thuật công trình này rất đơn giản và tự nhiên, đến mức mọi học sinh trung học đều có thể hiểu nếu được giảng giải kỹ càng. Mặt khác, nó liên hệ rất nhiều ý tưởng từ toán sơ cấp, phương pháp mở rộng từng bước, có nguyên tắc, có quan sát vật lý, đến các khái niệm của toán tôpô khá advanced.  Đặc biệt, lý thuyết này còn có thể tiếp tục phát triển để đưa ra các khái niệm mới về lý thuyết biểu diễn các phép biến đổi, do ở đây tính đồng phôi không còn được bảo đảm. Có thể gia công thêm để có một lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng với các cocycle có các ý nghĩa vật lý.

Một biểu diễn nhóm đối xứng thường tương ứng với một đối tượng vật lý như hạt hay trường. Trong một công trình khác tôi đã áp dụng một cách biểu diễn khác với biểu diễn tuyến tính là biểu diễn phi tuyến để thu được một mô hình vật lý phù hợp với thực nghiệm tốt hơn mô hình của Skyrme-Adkin-Nappi-Witten. Có cơ sở để thấy rằng các biểu diễn với các cấu trúc đồng điều như đã thấy từ việc suy rộng công thức nhân lũy thừa sẽ có những hiệu ứng vật lý khác nhau. Và đáng nói hơn, thực tế vật lý dường như không tuân biểu diễn tuyến tính, cũng như không tuân theo luật giao hoán. Các cấu trúc trừu tượng như các đại lượng không giao hoán, không kết hợp hoặc rộng hơn nữa, bắt đầu chỉ là trò chơi của tư duy, ở một môi trường tự nhiên nào đó, sẽ thể hiện trong thực tế. Sự phù hợp giữa tư duy và thực tiễn có lẽ là bí mật cả đời của tôi mà tôi vẫn luôn tò mò với tinh thần xây dựng, mặc dù vẫn còn nhiều nỗi lo toan.