Danny không có thời gian làm một bài toán

Danny, vốn tên do ba đặt cho khi sinh là Đen (Black). Khi nhỏ đã bị ba nhồi sọ cho về thần thoại Hy-La và Toán. Lên 10 tuổi Danny đã tranh cử chủ tịch hội đồng sinh viên và thắng một anh chàng cao hơn một cái đầu. Danny thần tượng Albert Einstein, John Nash và kể vanh vách về các vị thần Hy-La.

Ba kể cho Danny nghe về bài toán Fermat và Andrew Wiles. Danny nghe chăm chú rồi hỏi một câu bất ngờ "Vậy ông Wiles giải mỗi một bài toán mà mất cả mười năm ?". Ba phải chữa "Nhưng là một bài toán khó mà cả nhân loại hàng trăm năm không có ai giải được". Danny dứt khoát một cách bất ngờ và nghiêm trang nói "Dan không có thời gian là như vậy đâu, nếu 10 năm làm một vạn bài toán dễ thì vẫn hơn."
Sau này ba mới biết đáng lẽ phải giải thích cho Danny biết là để giải một bài toán Fermat, Wiles đã phải giải cả vạn bài toán dễ. Và thực ra, cái khó chỉ là gồm rất nhiều cái dễ hơn.
Chợt nhớ tới Hạng Vũ nói với Hạng Lương về chuyện học chữ chẳng qua để viết họ tên, học kiếm chẳng qua để biết, có giỏi cũng bất quá đánh được một vài người, mà muốn học cái đánh cả vạn người.

Chỉ là chuyện nhân lũy thừa

Viết lại post này vì muốn chọc ngoáy các thầy Toán Lý mà lại viết như để riêng cho các thầy thì lấy đâu ra người đọc.

  CHỈ LÀ CHUYỆN NHÂN LŨY THỪA

 Nhân lũy thừa, chỉ đơn giản là a^x a^y = a^(x+y), với các số thực x, y, học sinh phổ thông nào cũng biết. Nhưng để chứng minh nó, chắc các học sinh giỏi cũng ngắc ngứ. Có lẽ đó là phần xấu xí nhất trong chương trình toán phổ thông. Nhưng có lẽ nhờ thế, tôi có được một số trong những bài báo thú vị nhất của mình.

 Trước tiên, có lẽ phải cảm ơn thầy giáo dạy toán của tôi là thầy Đặng Quan Viễn, là người đã cố gắng chứng minh công thức đó cho chúng tôi bằng gần hết thời lượng của một học kỳ dạy đại số. Tất nhiên, chứng minh của thầy hoàn toàn thất bại trong khuôn khổ kiến thức của chương trình trung học thời bấy giờ. Nhưng việc thấy được điểm khập khiễng này cũng đã là một điều vĩ đại vào lúc bấy giờ, và làm tôi kính phục thầy hơn rất nhiều nhà chuyên nghiên cứu Toán đương đại.

 Có lẽ ít ai để ý tới công thức nhân lũy thừa nói trên, bởi vì công thức là hiển nhiên với các số mũ nguyên, thậm chí với các số mũ hữu tỷ. Nhưng chứng minh, dựa trên định nghĩa về lũy thừa với một số mũ thực là giới hạn của các lũy thừa với số mũ hữu tỷ, khi giới hạn chỉ mới được giới thiệu qua một số chuỗi hội tụ, có lẽ là một việc bất khả thi. Trong wikipedia, cũng chỉ buông một câu rất "phản toán" là "vì các số vô tỷ là giới hạn của các số hữu tỷ" nên lũy thừa với số mũ thực là giới hạn của lũy thừa của số mũ hữu tỷ. Nếu học sinh cũng áp dụng lý luận lười biếng đó đó cho số mũ phức thì sẽ có những rắc rối.

Có những người may mắn sẽ thoát nạn, có những người đã phải trả giá bằng cả một sự nghiệp khoa cử. Tôi biết có một học sinh giỏi, rất sáng giá và có chí lớn, sau khi bị đánh trượt môn đại số chỉ vì không làm được khai căn bậc n của 1 trên trường số phức, nản chí học hành và trở thành một học sinh làng nhàng, có lẽ chỉ bị ảnh hưởng quá nặng bởi những lý luận qua loa như trên. Tai nạn đó rõ ràng mang tính ngẫu nhiên, bởi nếu hôm đó mụ thần may mắn không bắt anh gắp trúng đề thi đó, hôm nay biết đâu đã có bao nhiêu thế hệ học sinh được nghe một thêm một giáo sư khả kính rao giảng những kiến thức cao siêu.

 Cũng may, học sinh bị giáo trình lấp liếm, chứ nếu đặt câu hỏi "tại sao giới hạn đó lại tồn tại", "có chắc là luôn luôn tồn tại không",... các thầy khéo mà đau đầu. Cũng may, chương trình của ta chỉ chú trọng thợ làm toán, không chú ý đến người suy nghĩ, đặc biệt là đa số sẽ làm ở ngành khác, không mang huy chương về cho nước nhà, ít suy nghĩ một chút cũng tốt. Chắc chắn để trả lời các câu hỏi đó cho thỏa đáng các thầy sẽ phải nói về mở rộng số nguyên sang số hữu tỷ, tính trù mật khắp nơi của các số hữu tỷ, tính sắp được của trường số thực, tính liên tục của hàm lũy thừa.

Quá nhức đầu, thách đố chẳng khác gì trả lời câu hỏi cho học sinh tiểu học "em bé sinh từ đâu ra". Tôi cho rằng, đối với cả hai vấn đề toán và sinh vật trên, đều phải theo nguyên tắc, không dạy thì thôi, dạy là phải đầy đủ. Không dạy những thứ nhảm nhí như em bé đẻ ra từ nách. Như vậy, công thức trên có thể dạy dưới dạng quy tắc ở các lớp dưới, không cần dạy sau phần giới hạn chuỗi. Hoặc nếu đã dạy thì cần dạy đến nơi đến chốn việc mở rộng số, khái niệm giới hạn, liên tục,... trên ví dụ là hàm lũy thừa.

 Hàm lũy thừa có thể mở rộng với các số mũ là các ma trận hoặc các toán tử. Vật lý cổ điển chuyển sang vật lý lượng tử có thể hiểu một cách đơn giản là thay thế các số bằng các ma trận hoặc toán tử để mô tả các đại lượng vật lý. Chẳng hạn với hàm lũy thừa với cơ số e, với các số mũ là các ma trận thì công thức nhân lũy thừa exp(A) exp(B) = exp(A+B), chỉ đúng khi các ma trận A, B giao hoán AB= BA. Công thức đúng trong trường hợp tổng quát hơn, khi A và B không chắc là giao hoán, là đồng nhất thức Cambell-Haussdorf exp(A) exp(B) = exp(A+B+ 1/2[A,B]) trong đó [A, B] = AB-BA. Và thực ra, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf cũng chỉ đúng nếu [A,[A, B]] = 0 = [B,[A, B]] hoặc hạn chế áp dụng trên một tập hợp các ma trận có tính kết hợp, như quaternion. Với các số không kết hợp như octonion (số Calley), công thức Cambell-Haussdorf cần tiếp tục bổ sung thêm các phần tử mới, và biểu thức ở vế phải của đồng nhất thức Cambell-Haussdorf có thể kéo dài vô tận. Và các cấu trúc mới sau tính kết hợp có thể sẽ được hiểu mỗi khi ta muốn chấm dứt vế phải của đồng nhất thức này ở một bậc nào đó của các ma trận A, B. Nói một cách khác, công thức nhân lũy thừa chỉ là xấp xỉ tuyến tính của đồng nhất thức Cambell-Haussdorf suy rộng.

 Nhân đây cũng cần nói thêm về các nguyên tắc của việc tổng quát hóa. Tổng quát hóa là một phương pháp luận, không phải chỉ có ý nghĩa với các nhà toán học. Trong cuộc sống thường ngày, tổng quát hóa cho phép áp dụng các kiến thức đã biết để giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực mới lạ. Nhưng cần phải có thao tác nhất định chứ không thể luôn luôn "ăn may" như trong công thức nhân lũy thừa của số mũ thực.

Tổng quát hóa, theo lối máy móc, có thể có sự góp phần của các thày dạy Toán đặc biệt ở việc nhân chuỗi lũy thừa, đang trở thành phương pháp luận phổ biến như chụp mũ, chủ nghĩa lý lịch, nâng quan điểm để những tên hoạt đầu chính trị trục lợi. Chúng ta đã quá dị ứng với những lý luận "anh nói thế chứng tỏ là anh...", "gia đình anh như thế chứng tỏ anh cũng như vậy...", "anh làm việc nọ chứng tỏ quan điểm anh thế kia".... Suy nghĩ cho cùng về mặt logic, những lý luận đó cũng chẳng kém việc dùng công thức nhân lũy thừa cho số mũ nguyên.

 Có một nguyên tắc khác của tổng quát hóa là phải có một motivation. Có nhiều rất nhiều thầy tiêu phí cả đời vào việc tổng quát hóa vô bổ. Các thầy rất sẵn ý tưởng, luôn luôn đủ cung cấp cho hàng trăm học sinh, tổng quát hóa ABC sang XYZ. Nghe thì rất rắc rối, cao siêu nhưng chung qui rất kém sáng kiến, không hơn gì "trong giáo trình đã dạy nhân hai số có 2 chữ số, học trò tôi đã tổng quát hóa nhân hai số có n<5, đề nghị anh tổng quát hóa cho n<7, n >6 là vấn đề hết sức vĩ đại to lớn mà nhân loại sẽ còn phải giải quyết".

Tôi nhận thức được, loại tổng quát hóa vô nguyên tắc sẽ đi đến những tri thức hiển nhiên qua định luật Hook. Định luật Hook phát biểu là độ giãn dx của một thanh vật chất đàn hồi tỷ lệ tuyến tính với lực kéo, khi lực kéo bé. Định luật Hook thứ hai cho thấy sự phụ thuộc bậc 2. Nếu tổng quát hóa đến cùng chẳng qua chỉ là khai triển Taylor của một hàm giải tích, và chẳng dùng được gì trong thực tế. 

Khi có motivation, tổng quát hóa sẽ phải theo từng bước, để kiểm chứng lại motivation, đừng để bị lệch hướng vào các tổng quát hóa vô bổ hoặc để sự lười biếng của trí tuệ lẻn vào, như việc nhân lũy thừa số thực. Nếu suy nghĩ đúng hướng, một vấn đề như nhân lũy thừa có thể kết nối với những vấn đề rất thú vị của toán học hiện đại. Một nhà toán học có những công trình xuất sắc không phải suốt ngày nghĩ đến các chuyện quái gở, suy nghĩ kiểu quái vật, thao tác bất thường, dùng các công cụ quái khủng. Họ cũng suy nghĩ bắt đầu từ những ý tưởng bình dị, như bất cứ một vấn đề ứng dụng thực tế nào, chỉ có điều họ đi rất sâu, phân tích rất kỹ và có những motivation xuất sắc để khỏi trệch hướng.

Tôi muốn kể một kinh nghiệm cụ thể cũng chỉ liên quan đến việc nhân lũy thừa để minh họa điều đó. Các phép biến đổi liên tục thường được biểu diễn bằng các biểu diễn hàm mũ với cơ số e. Chẳng hạn phép tịnh tiến trong không gian Eulide n chiều với vector a có thể viết f(x) --> f(x+a) = T(a) f(x) = exp (i a d/dx) f(x). Thực ra chỉ là một khai triển Taylor và dùng mở rộng công thức chuỗi của hàm mũ cho toán tử đạo hàm d/dx. Biểu diễn phép tịnh tiến như vậy đảm bảo tính đồng phôi T(a1+a2) = T(a1) T(a2), do công thức nhân lũy thừa là đúng khi mở rộng cho toán tử đạo hàm. Lý do như chúng ta đã thấy từ đồng nhất thức Cambell-Haussdorf, là các đạo hàm là giao hoán với nhau. Khi chuyển sang các không gian cong Riemann, các đạo hàm được thay bằng các đạo hàm hiệp biến D= d/dx+A(x) nhờ một đại lượng A(x), mà các nhà toán học gọi là liên thông, các nhà vật lý gọi là thế. Các đạo hàm hiệp biến buộc phép tịnh tiến bám chặt trên mặt đa tạp, chứ không đi thẳng ra ngoài. Các đạo hàm này không giao hoán. Do đó, phép biểu diễn tịnh tiến T(a) = exp(i a D) sẽ không còn cấu trúc đồng phôi như đã nói. Sử dụng đồng nhất thức Cambell-Haussdorf, ta sẽ có T(a1) T(a2) = alpha(a1, a2, x, 2) T(a1+a2). Đại lượng alpha (a1,a2,x,2), gọi là 2-cocycle là một khái niệm về đồng điều trong tôpô. Tương tự T(a1)T(a2)... T(an) = alpha (a1,a2,..., an, x, n) T(a1+a2...+a3) là các n-cocycle.

Các cocycle được chứng tỏ trong một công trình của tôi viết năm 1987 là các tích phân vòng quanh đa diện có các đỉnh là x,a1,a2,..,an và có ý nghĩa toán học là các đặc trưng tô pô, và ý nghĩa vật lý là các đại lượng vật lý đo được. Chẳng hạn 2-cocycle liên quan đến một hiệu ứng thực nghiệm rất nổi tiếng là hiệu ứng Bohm-Arahonov, được công ty Hitachi đầu tư nhiều để quan sát thực nghiệm. 3 và 4-cocycle, liên quan đến các lớp đặc trưng Chern-Simons, Chern-Pontrijagin,... có thể quan sát thông qua các đối tượng vật lý như đơn cực từ, soliton, lỗ đen,...

 Nói một cách khác, trong thực tế, có nhiều hoàn cảnh, biểu diễn tuyến tính không còn sử dụng được. Do tương tác vật lý, các cấu trúc toán học bị "biến dạng", tương tự công thức nhân lũy thừa bị biến dạng thành đồng nhất thức Cambell-Haussdorf theo nhiều bậc. Biến dạng hình học có thể đo bằng các cocycle, và sự tồn tại của cocycle ở các bậc, một cách bí ẩn nào đó lại liên quan đến các tính chất đại số như giao hoán, kết hợp,... Từ đó chúng ta có thể nghĩ tới các khái niệm toán học của biểu diễn biến dạng, từng bước một được phân loại bằng cocycle, và mỗi bước đánh dấu bằng sự tồn tại của các đối tượng vật lý có thể quan sát được.

 Biểu diễn tuyến tính không phải là công cụ toán học duy nhất để các nhà vật lý nghiên cứu các nhóm biến đổi liên tục. Từ những năm 60-70 của thế kỷ trước, các nhà vật lý đã sử dụng khái niệm biểu diễn phi tuyến cho một nhóm đối xứng Lie bất kỳ trong vật lý. Biểu diễn này có thể mô tả các hệ thống vật lý bị vi phạm tự phát. Tôi đã sử dụng biểu diễn này để xây dựng thành công một mô hình cải tiến cho hạt nucleon vào năm 1989. Mô hình này cho kết quả phù hợp với thực nghiệm tốt hơn các kết quả do nhóm của Giáo sư Edward Witten tại Princeton, trên cơ sở của mô hình cũ.

Từ một công thức nhân lũy thừa đơn giản, mà một học sinh trung học cũng có thể hiểu dễ dàng, nếu phân tích thật kỹ vẫn có thể thấy cả một thế giới với các tri thức toán học, vật lý tiên tiến nhất. Đặc biệt, các cấu trúc toán học khác nhau được sắp xếp một cách có trật tự, và bằng một cách huyền bí nào đó, các sản phẩm của trò chơi tư duy, đều lần lượt xuất hiện trong tự nhiên dưới một dạng nào đó. Khi thực nghiệm tìm ra hạt W, hình như Salam có nói một câu gì đó tương tự như "không thể tin được đó là sự thực". Cho đến nay thì các cấu trúc toán học điên rồ, nhất cũng đều lần lượt xuất hiện trong tự nhiên. Vì sao có sự phù hợp như vậy giữa tổ chức vật chất trong vũ trụ với những ảo ảnh sinh ra nhờ các phản ứng sinh hóa trong não bộ của một động vật cao cấp. Đó vẫn là bí ẩn lớn nhất của cuộc đời tôi mặc dù vẫn còn nhiều điều phải lo toan.

Nhân lũy thừa, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf và mở rộng các khái niệm

NHÂN LŨY THỪA VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC CAMBELL-HAUSSDORF

Trong chương trình toán sơ cấp, có một miếng vá víu xấu xí, trình bày rất vụng về mặt logic mà ít ai để ý là công thức nhân lũy thừa của các số thực đơn giản a^x a^y = a^(x+y). Công thức này được hầu hết các học sinh thừa nhận hiển nhiên từ công thức nhân lũy thừa cho số nguyên a^n a^m = a^(m+n).

Tôi nhớ đã từng thắc mắc vì thấy không thể nào chứng minh được công thức nhân lũy thừa cho số thực từ định nghĩa ban đầu của nó. Thầy dạy toán của tôi thời đó là thầy Đặng Quan Viễn có lẽ là một nhà nghiên cứu giỏi hơn là một nhà sư phạm đã dành gần hết thời gian một học kỳ cho môn Đại số để chứng minh công thức này. Tôi còn nhớ nhiều khi thầy đứng cả nửa tiếng trước bảng một mình, mặc cho lũ học sinh cá biệt chúng tôi phá quấy, chuyện riêng, đánh cờ ca rô búng tay, vẩy mực vào áo nhau, ném giấy về phía bọn con gái. Bọn học sinh ngoan thì bối rối vì mách thầy là vô hiệu. Có lẽ chỉ có mình tôi vừa tham gia quậy phá tích cực vừa để ý tới thầy. Nhận thức được khó khăn này trong giáo trình, có lẽ là điểm tôi học được, luôn kính trọng và biết ơn thầy trong suốt quãng đời làm khoa học của mình. 

Về định nghĩa của lũy thừa của một số thực a, trước hết được định nghĩa lũy thừa số nguyên dương n là tích n lần của a: a^n = a.a....a (n lần). Khi đó công thức nhân lũy thừa là hiển nhiên.  Sau đó, người ta mở rộng lũy thừa cho số nguyên âm -n là nghịch đảo của a^n   a^(-n) = 1/a^n. Rồi tiếp tục mở rộng lũy thừa với số mũ hữu tỷ n/m  là a^(m/n) căn bậc n của a^m.

Việc mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực dạy rất sơ sài, gần như cho qua chuyện, do đó học sinh hoàn toàn không thấy lý thú một chút nào. Đặc biệt, công thức Moivre, gần như là nhồi sọ, vì không hề có bất cứ định nghĩa nào về lũy thừa với số mũ phức. Tuy nhiên, có lẽ cần dành thời lượng nhiều hơn và một cách dạy lý thú, động não hơn về phần này. Đây là một cơ hội để học sinh tiếp cận với việc mở rộng khái niệm toán học, có lẽ thao tác này sẽ là cơ bản đối với các nhà toán học tương lai, và nếu dạy khéo, sẽ là một kỹ năng cao cấp đối với những người không làm toán.

Trong giáo trình toán phổ thông cũ, thậm chí trên Wikipedia phần tiếng Việt, lũy thừa với số mũ được định nghĩa là giới hạn của lũy thừa số hữu tỷ "vì số thực là giới hạn của số hữu tỷ". Như vậy  a^x = lim a^b khi b --> x.  Phải nhận ra là mệnh đề "vì..." nói trên hoàn toàn vô nghĩa, trước hết mệnh đề đó không đảm bảo giới hạn là tồn tại. Do đó, nếu có học sinh giỏi toán nào để ý học phần này, thì hoàn toàn chỉ làm hại thần kinh của mình và thấy kiến thức sách giáo khoa không còn gì là thiêng liêng. Để hiểu sâu sắc được phần này, chắc chắn phải động đến các khái niệm cơ bản của toán giải tích như lát cắt, tính trù mật của trường số thực,....  Do đó cũng thật khó khăn để có thể giải thích kỹ càng phần này. Tuy vậy, theo quan điểm của tôi, đã dạy thì phải có nguyên tắc, không thì thôi, không dạy nửa vời phản logic. Phần giới hạn đã cho học sinh hiểu là giới hạn không chắc đã tồn tại, thì phần này không thể dạy như vậy. Để khắc phục, có một cách là khái niệm lũy thừa của số vô tỷ ra chỗ khác để đừng liên quan đến giới hạn, chẳng hạn có thể đưa vào chương trình sớm hơn, dưới dạng các quy tắc. Tương tự như việc nhân hai số thập phân hoặc hai số vô tỷ, chẳng ai căn vặn gì nhiều vì quy tắc là quy tắc, chỉ việc học và áp dụng. Chính quy tắc thể hiện định nghĩa dưới hình thức thực nghiệm (empirical).

Ở chương trình lớp trên hoàn toàn đủ thời gian và cần thiết để dạy một số khái niệm của toán giải tích, có thể bằng một ngôn ngữ sơ cấp trực quan và sống động, yêu cầu động não, tránh nhồi nhét về tính hội tụ và phân kỳ, tính chất trù mật, sắp được của số thực, khái niệm liên tục. Chẳng hạn, có thể dạy về việc mở rộng khái niệm số, nhấn mạnh phương pháp luận, nguyên tắc của việc mở rộng và giải thích yêu cầu thực tế cũng như ích lợi của việc mở rộng. Một hệ quả của việc không rèn luyện cẩn thận về phương pháp luận và nguyên tắc của việc mở rộng là việc Việt Nam nhan nhản những nhà khoa học mở rộng, tổng quát hóa vô nguyên tắc, chẳng biết mình đang làm gì. Từ tổng quát hóa vô nguyên tắc của nhà khoa học, tới việc chụp mũ, ngụy biện lươn lẹo, nâng quan điểm của các những người có chút quyền lực hay của toàn xã hội cũng chỉ cần thêm vào chút bả lợi ích và phát lộ bản năng chà đạp lẫn nhau. Biết đâu việc dạy toán cũng có phần trách nhiệm với xã hội hôm nay.

Việc mở rộng số thực sang số phức ở trường phổ thông hoàn toàn mang tính quy ước dưa trên ký hiệu i là căn bậc 2 của -1, mà không có một cơ sở phương pháp nào cho phép cộng nhân ký hiệu đó với số thực. Trong khi đó, chỉ cần có một khung phương pháp tốt về mở rộng, việc dạy số phức và công thức Moivre hoàn toàn không khó và đáng ra có thể mang lại lợi ích suốt đời cho học sinh phổ thông.

Đối với cá nhân tôi, công thức nhân lũy thừa vẫn còn ám ảnh đến bây giờ và suy nghĩ về nó vẫn còn có ích. Trong toán học không có gì là hiển nhiên bất biến cả. Nếu học toán để rồi nghĩ rằng các tín điều hiển nhiên trong xã hội là bất khả xâm phạm, thì có lẽ xã hội đã sai lầm đầu tư cho bạn đi học và làm toán.  

Việc mở rộng công thức nhân lũy thừa có thể tiếp tục với các đối tượng rộng hơn số phức, chẳng hạn là với số mũ là các ma trận, toán tử hoặc các số siêu phức như quaternion, octonion (số Calley) hoặc các số Grassmann, Clifford. Trong Vật lý, việc sử dụng các đại lượng lấy giá trị mở rộng như vậy có từ thời phát minh ra cơ lượng tử, khi người ta hiểu rằng muốn mô tả các đại lượng thăng giáng ngẫu nhiên phải nhờ đến các ma trận hoặc các toán tử có thể không giao hoán như các số.

Công thức nhân lũy thừa đối với ma trận thường gọi là đồng nhất thức Cambell-Haussdorf. exp(A) . exp (B) = exp (A+B+ 1/2[A, B]).  Trong trường hợp 1/2[A, B] là một số, ta có exp(A) exp(B) = exp (1/2[A, B]) exp (A+B).  Tức là phép nhân lũy thừa không còn tương ứng 1-1 với phép cộng số mũ nữa. Đối với các toán tử nói chung, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf chỉ đúng khi tập hợp các toán tử là kết hợp, tức là [A, [A, B]] = 0 = [B, [A, B]]. Một học sinh giỏi toán có thể đặt ngay câu hỏi nếu các toán tử không thỏa mãn điều kiện kết hợp thì công thức nhân lũy thừa Cambell-Haussdorf sẽ ra sao. Có thể trả lời trước là công thức tổng quát Cambell-Haussdorf-Hubbard là một chuỗi vô tận, có thể dừng lại nếu đưa ra giả thiết nhất định. Như vậy đồng nhất thức này có thể dùng để hiểu việc mở rộng các cấu trúc toán tử, khi có yêu cầu thực tế.

Lấy một ứng dụng cụ thể là toán tử đạo hàm. Đạo hàm chính là toán tử sinh ra phép tịnh tiến F(x) --> F(x+a) nhờ công thức Taylor viết dưới dạng F(x+a) = e^(a^\mu \partial_\mu) F(x). Toán tử e^(a^\mu \partial_\mu) là biểu diễn của phép tịnh tiến. Trên không gian Euclide n-chiều, do các đạo hàm giao hoán nên không có gì lý thú liên quan đến đồng nhất thức Cambell-Haussdorf khi nhân lũy thừa, hay thực hiện hai phép tịnh tiến liên tiếp.

Chúng ta hãy xét các không gian ( nói một cách toán học là đa tạp nhưng dùng không gian cho đỡ tốn bộ nhớ vì khái niệm) Riemann. Khi đó có các toán tử đạo hàm hiệp biến D_\mu = \partial_\mu + i A_\mu(x) với A_\mu(x) gọi là liên thông, chính là các trường vật lý có thể quan sát được. Đạo hàm hiệp biến là toán tử không giao hoán  [D_\mu, D_\n] = F_{\mu \nu} đại lượng F_{\mu \nu} chính là cường độ của trường vật lý, ví dụ như điện trường và từ trường xuất hiện là nhờ tính không giao hoán của phép tính tiến. Nói một cách khác, các trường vật lý như điện và từ trường đã phá vỡ tính giao hoán của các phép biến đổi tịnh tiến. Như vậy, tính giao hoán bị tự nhiên phá vỡ trước khi nói đến lượng tử.

 Phép tịnh tiến trên không gian Riemann được biểu diễn bằng toán tử e^(a^\mu D_\mu) và ta có e^(a^\mu D_\mu) F(x) = alpha (a, x) F(x+a).  Thừa số alpha(a,x) xuất hiện và gọi là 1-cocycle, là một đại lượng đo sự méo đi của không gian, được nghiên cứu trong một nhánh của tô pô là lý thuyết đồng điều. Như thế, các tư tưởng của toán học hiện đại xuất hiện hết sức tự nhiên, mà một học sinh trung học, nếu được dạy đúng cách, có thể hiểu dễ dàng.

Áp dụng liên tiếp hai lần phép tịnh tiến theo vector a1 và a2 chúng ta có exp (a1^\mu D_\mu) exp(a^\nu D_\nu) =  \alpha(a1, a2, x, 2) exp((a1+a2)^\mu D_mu).   Trong đó \alpha(a1,a2,x, 2) gọi là 2-cocycle. Ở đây chúng ta bắt buộc phải dùng công thức Cambell-Haussdorf để tính \alpha(a1,a2,x,2). Ở đây có rắc rối một chút, nhưng 2-cocycle có thể tính ra được bằng tích phân vòng theo chu vi của tam giác với các đỉnh x, x+a1, x+a1+a2 theo cường độ trường nói ở trên. Áp dụng công thức Gauss-Stokes, tích phân đó không triệt tiêu nếu trong tam giác đó có các đường sức đi qua. Áp dụng trong vật lý, ta sẽ thấy một hiện tượng không bình thường: nếu một hạt mang điện chuyển động trong một không gian, trên đường đi có thể không có tác động nào của trường vật lý, nhưng nó sẽ cảm thấy được cái trường vật lý đó, khi chuyển động theo hai đường đi khác nhau nhờ 2-cycle. Trong vật lý đây gọi là hiệu ứng Bohm-Arahonov phát hiện trong những năm 70 của thế kỷ trước và được công ty Hitachi đầu tư để thực nghiệm.

Quay trở lại việc tiếp tục mở rộng đồng nhất thức Cambell-Haussdorf cho các toán tử không kết hợp, chúng ta có thể áp dụng ba phép tịnh tiến liên tiếp.

     exp(a1^\mu D_mu) exp(a2^mu D_\mu) exp (a3^\mu D_\mu) = \alpha(a1,a2, a3, x, 3) exp((a1+a2+a3)^\mu D_mu) với alpha (a1,a2,a3,x,3) là 3-cocycle. Tương tự ta có các cocycle bậc cao hơn và tính được chúng qua các lớp đặc trưng Chern-Pontrijagin, Chern-Simon của các không gian Riemann và chúng có các ý nghĩa vật lý là các nguồn vật chất đặc biệt như đơn cực từ, soliton,... Đó là công trình đầu tiên của tôi viết độc lập tại Việt Nam được đăng trên một tạp chí ISI.

    Điều đáng nói là về kỹ thuật công trình này rất đơn giản và tự nhiên, đến mức mọi học sinh trung học đều có thể hiểu nếu được giảng giải kỹ càng. Mặt khác, nó liên hệ rất nhiều ý tưởng từ toán sơ cấp, phương pháp mở rộng từng bước, có nguyên tắc, có quan sát vật lý, đến các khái niệm của toán tôpô khá advanced.  Đặc biệt, lý thuyết này còn có thể tiếp tục phát triển để đưa ra các khái niệm mới về lý thuyết biểu diễn các phép biến đổi, do ở đây tính đồng phôi không còn được bảo đảm. Có thể gia công thêm để có một lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng với các cocycle có các ý nghĩa vật lý.

Một biểu diễn nhóm đối xứng thường tương ứng với một đối tượng vật lý như hạt hay trường. Trong một công trình khác tôi đã áp dụng một cách biểu diễn khác với biểu diễn tuyến tính là biểu diễn phi tuyến để thu được một mô hình vật lý phù hợp với thực nghiệm tốt hơn mô hình của Skyrme-Adkin-Nappi-Witten. Có cơ sở để thấy rằng các biểu diễn với các cấu trúc đồng điều như đã thấy từ việc suy rộng công thức nhân lũy thừa sẽ có những hiệu ứng vật lý khác nhau. Và đáng nói hơn, thực tế vật lý dường như không tuân biểu diễn tuyến tính, cũng như không tuân theo luật giao hoán. Các cấu trúc trừu tượng như các đại lượng không giao hoán, không kết hợp hoặc rộng hơn nữa, bắt đầu chỉ là trò chơi của tư duy, ở một môi trường tự nhiên nào đó, sẽ thể hiện trong thực tế. Sự phù hợp giữa tư duy và thực tiễn có lẽ là bí mật cả đời của tôi mà tôi vẫn luôn tò mò với tinh thần xây dựng, mặc dù vẫn còn nhiều nỗi lo toan.