Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (3)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (3)

Các khái niệm của hình học vi phân, cho tôi có đủ công cụ để tìm một cấu trúc không thời gian mới phù hợp cho vật lý. Tôi đã thử mở rộng không thời gian vật lý bằng các tọa độ lấy các giá trị Clifford, quaternion và octonion thay cho Grassmann. Thậm chí, tôi cũng đã thử thay thế các toạ độ không thời gian bởi các số siêu phức. Nhưng có thể do hạn chế về năng lực, tôi không tìm được tính chất vật lý gì thú vị. Mặt khác, tôi không có ý định trở thành chuyên gia về phát triển công cụ toán học thuần tuý. Do đó, rất nhanh tôi từ bỏ các ý tưởng đơn giản này, để đi đến các cấu trúc toán học tinh vi và gần vật lý hơn. 

Ban đầu, tôi thích khái niệm không gian phân thớ trên tập coset G/H chỉ bởi vì nó là ví dụ hiếm hoi mà tôi hiểu được khá nhanh khi học hình học vi phân. Có thể do từ lâu tôi vẫn băn khoăn mối liên quan nào đó mang tính động lực vật lý giữa các lý thuyết có đối xứng cao hơn và thấp hơn. Tôi lờ mờ cảm thấy rằng, có lẽ khái niệm này sẽ là công cụ tốt hơn để mở rộng khái niệm không thời gian. Cảm nhận đó được khẳng định nhờ Victor Ogievetsky, người được phương Tây nhắc tới như là Feza Gursey của Nga. Khi tôi gặp ông, cũng là lúc mà nhóm của ông đang tạo ra cả một ngành công nghiệp chế tạo ra các cái gọi là siêu không gian điều hòa gồm các toạ độ không thời gian, toạ độ Grassmann và các toạ độ coset G/H. Trong vòng 3 tháng lao động cật lực, tôi hoàn thành một số tính toán và công bố chung với nhóm của Ogievetsky một công trình, mà sau đó nó đã giúp tôi được các nhóm nghiên cứu ở phương Tây để ý tới. Tuy vậy, tôi cảm thấy các công cụ kỹ thuật quá phức tạp đó khó có khả năng đưa tôi đến đích mong muốn. 

Trong thời gian đó tôi đã tìm được Witten và cảm thấy đồng điệu với ông khi đọc những tuyên ngôn của ông trong các bài đầu tiên về siêu không gian nhiều chiều "con đường để đi đến siêu đối xứng là phải qua không gian nhiều chiều, con đường xây dựng lý thuyết nhiều chiều là phải dùng siêu đối xứng". 
Cần phải nói thêm siêu đối xứng là đối xứng giữa các hạt có spin nguyên và các hạt có spin bán nguyên. Pauli đã chỉ cho chúng ta rằng hai loại hạt cơ bản này có thuộc tính khác nhau. Các hạt spin nguyên có xu hướng "đa thê", giống nhau, hợp với nhau, thì có thể kết giao vô hạn. Các hạt spin bán nguyên có xu hướng "một vợ một chồng", cấm mọi hành động "vượt rào". Việc xếp hai hệ thống đạo đức rất khác nhau này vào một rọ đối xứng là một cưỡng bức rất thiếu tự nhiên. Tuy nhiên, điều kỳ lạ nhất là nếu một lý thuyết vật lý có được tính chất siêu đối xứng thì các loại kỳ dị, các tích phân phân kỳ trong các công thức vật lý sẽ khử lẫn nhau một cái kỳ diệu. Một cách kỳ bí nào đó, chỉ không gian bốn chiều mới có những điều khó chịu đó, hoàn toàn phù hợp với kết quả phân loại của đa tạp tô pô. Ở đây, giữa toán học và vật lý bắt đầu có một cuộc giao cảm, các trực quan vật lý có thể gợi ý cho các ý tưởng toán học. Những người lạc quan nhất vào những năm 80 đều nghĩ rằng sẽ nhanh chóng nắm bắt được điều gì đó lớn lao trước điểm hẹn cho một cách mạng tư tưởng của thế kỷ. 

Tôi bắt đầu cố gắng đọc tất cả các công trình của Witten và nhận thấy được rằng đây sẽ là người thiết kế ra các hướng nghiên cứu cho vật lý lý thuyết trong những thập kỷ 80-90, mặc dù lúc đó còn rất ít người biết đến Witten. Có lẽ, từ một nơi xa xôi lạc hậu bị cô lập thông tin, mà tôi có thể sớm phát hiện ra điều đó, là vì tôi đã không tiếc công học toán. Vào thời điểm đó nếu được làm việc ở phương Tây, có lẽ tôi đã có thể dễ dàng hoà nhập vào dòng chủ lưu của vật lý.

Điểm mạnh của lý thuyết vật lý trong không gian nhiều chiều là có thể liên kết các hiện tượng vật lý có vẻ như không liên quan của thế giới bốn chiều với nhau. Chẳng hạn, mối cảm thông giữa một chàng trai và một cô gái là khó có thể cắt nghĩa nếu chỉ hạn chế trong thế giới 4 chiều. Nhưng nếu có thể cho rằng hai cá thể chỉ là hai hình chiếu khác nhau của cùng một đối tượng nhiều chiều, người ta có thể có một cơ chế động lực để giải thích mối tương quan đó. Tuy vậy, điểm yếu của các lý thuyết nhiều chiều là chúng quá rộng, dường như những ưu điểm do chúng mang lại không bù đắp được. Tình trạng này, cũng giống như việc tìm ra được thêm các phương trình mới, nhưng các phương trình này lại kèm theo quá nhiều các ẩn số mới. 

Chính tôi còn nghi ngờ vào tương lai của những không gian vật lý kiểu thế này, nên đã quyết đinh không tham gia vào việc mở rộng các siêu không gian đến 2,4,8 chiều Grassmann, rồi 11, 26 chiều thực, mặc dù đã chuẩn bị kỹ thuật đầy đủ và công việc này đủ để đưa rất nhiều người lên đài vinh quang. Có nhiều điều hay, nên làm và có thể làm, nhưng không phải dành cho ta, nếu ta không thấy hạnh phúc và không có đủ niềm tin.

Witten vượt qua đám đông cần mẫn đào xới bề bộn đó rất nhanh và chỉ ra những hướng mới với hiểu biết toán học sâu sắc. Từ đây, ông trở thành tổng chỉ huy phát ra các hướng nghiên cứu chủ đạo của vật lý lý thuyết. Trong một công trình vào khoảng 1983-1985, Witten đã chỉ ra các lý thuyết có một đại lượng gọi là số hạng Wess-Zumino sẽ tiềm ẩn những nội dung vật lý mới. Tôi đã hiểu được ngay các phần tử đó có liên hệ với các lớp đặc trưng của Chern và Simon. Tuy nhiên, ý nghĩa vật lý cụ thể của các cấu trúc toán học đó, cho đến khi một người bạn học cũ đã trở thành giáo sư ở MIT gửi cho tôi công trình của Witten-Nappi-Adkins. Công trình này khác hẳn với phong cách thường thấy của Witten mà đi sâu về việc tính toán các đại lượng vật lý của nucleon, dựa trên một mô hình của Skyrme đã xây dựng từ những năm 50-60. 

Mô hình này dựa trên một ý tưởng điên rồ, coi nucleon, hạt tạo thành mọi vật chất xung quanh ta, như là những lời giải đặc biệt của các phương trình mô tả hạt pion, mô tả tương tác mạnh. Các lời giải đặc biệt này tương tự như các xoáy nước trong các hệ thuỷ động học phi tuyến tính. Ý tưởng này điên rồ đến nỗi phải 30-40 năm sau mới trở thành phổ biến trong vật lý. Các nhà vật lý từ thời cơ lượng tử vẫn quen với tư duy số học xây dựng các số nguyên từ số bán nguyên kiểu như: 1/2+1/2= 1 hay 1/2-1/2=0. Làm thế nào để xây dựng các trạng thái có spin 1/2 từ các hạt có spin 0? Skyrme là người đầu tiên chỉ ra được điều đó, ông thấy các nghiệm kiểu xoáy nước đó có khối lượng, bán kính xác định giống như nucleon và phù hợp với vật lý cho đến mức định lượng một cách huyền bí. Ông kiên nhẫn viết khoảng 10 bài báo từ năm 1953 đến 1961 mà hoàn toàn không có ai hưởng ứng, cho đến khi chán nản, bỏ vật lý đi làm một việc khác. Mãi đến sau năm 1965 mới có một nhà toán học chứng minh được các nghiệm đó có tính bền vững vì bảo toàn đặc trưng tô pô. Các nghiệm đó có spin 1/2 vì nếu quay 360 độ người ta không nhận được nghiệm ban đầu. Nói theo ngôn ngữ của toán tô pô, có thể coi tô pô của nghiệm đó như là một băng Mobius, phải đi hai vòng 720 độ mới trở lại trạng thái ban đầu. Tính chất này được bảo toàn nhờ một số gọi là winding number, hay lớp đặc trưng Chern. Nói một cách khác, vật lý phải mất 40 năm mới hiểu được các công trình của Skyrme do không nắm được các kiến thức toán học cần thiết.

Chính nhờ chuẩn bị khá kỹ về tô pô vi phân, tôi hiểu được rất sớm dụng ý của Witten. Các lý thuyết phi tuyến sẽ sinh ra các cấu trúc vật lý mới một cách động lực qua một cơ chế gọi là kích thích tập thể, như vô vàn giọt nước tham gia vào việc tạo ra xoáy nước, nhờ một cấu trúc tô pô đặc biệt. Trong khoảng thời gian 6 tháng tôi cố gắng nuốt tất cả các công trình của Witten và Skyrme. Bãi săn hổ của tôi đã hình thành với ba góc lưới đã giăng sẵn: Wigner với nhóm Poincaré, Witten với các không gian vật lý có tô pô đặc biệt và Skyrme với cơ chế sinh ra vật chất từ tương tác. Vũ khí là khai triển điều hoà của Ogievetsky theo các toạ độ coset G/H.

Có lẽ công việc khó nhất đối với nhà vật lý là việc biểu diễn các ngôn ngữ hình thức nặng nề, thành một ngôn ngữ của mình, lịch lãm và đơn giản. Rất tình cờ, người hướng dẫn nghiên cứu sinh của tôi là Đào Vọng Đức là một chuyên gia về việc trình bày mọi vấn đề khó nhất trở nên đơn giản nhất. Về mặt chuyên môn, hướng đi của tôi và cách tư duy của tôi có lẽ khác với Đào Vọng Đức khá nhiều. Đến nỗi khi tôi bảo vệ tiến sĩ ông phát biểu "số thời gian thảo luận khoa học của tôi với anh Việt tổng cộng chưa tới 3 phút" và một lần tôi đưa một công trình nhờ ông đọc, thì ông nói "mình không thạo về chuyên môn này". Nhiều người cho rằng tôi là học trò bị thất sủng. Tôi đã hỏi thẳng Đào Vọng Đức việc này, ông nói "Hướng dẫn phải tuỳ người. Với Việt, việc được tự do sẽ có ích hơn cho phát triển lâu dài." Với những người khác tôi có thể nghĩ đó là một kiểu nói lẫy, nhưng với Đào Vọng Đức tôi chưa bao giờ phải nghi ngờ. Tuy vậy, càng ngày tôi càng nhận ra rằng phong cách trình bày và phong cách xây dựng hệ thống hình thức của tôi đã nhận ảnh hưởng từ Đào Vọng Đức rất nhiều. Điều đó còn có ý nghĩa nhiều hơn việc tiếp thụ trực tiếp kiến thức. Tôi mãi biết ơn ông về điều đó.

Tôi bảo vệ tiến sĩ trong nước năm 1987, luận văn được đánh giá xuất sắc với 9 bài báo, trong đó có 6 bài đăng nước ngoài. Tôi chưa bao giờ cảm thấy tự ti với tấm bằng "nội địa" của mình. Có lẽ, đối với nhiều tiến sĩ trẻ, thời kỳ sau khi bảo vệ luận án, khó khăn nhất là thoát khỏi ảnh hưởng của thầy. Tôi hoàn toàn không gặp phải vấn đề đó. Chương trình săn hổ của tôi đã hoạch định sẵn sàng. 

Tuy nhiên, vấn đề không hoàn toàn đơn giản vì thông tin khoa học đến Việt Nam quá muộn màng và thiếu thốn. Các tạp chí hiếm hoi đến Việt nam cũng phải chậm từ 3-4 năm. Nếu muốn làm khoa học thực sự, đã đến lúc tôi phải tìm một môi trường khác, hoặc dùng tấm bằng đi làm một việc khác. Tôi đặt cho mình một chương trình 2 năm để chuẩn bị về tiếng Anh, máy tính, cơ sở toán học và các khiếm khuyết về vật lý để ra nước ngoài làm việc. Sau một chuyến công tác ở Pháp, Nguyễn Văn Hiệu có kể cho chúng tôi nghe về Julia, một nhà vật lý rất trẻ và rất giỏi, có một công trình về compact hoá lý thuyết nhiều chiều. Tôi còn nhớ một anh bạn vong niên vỗ vai tôi khích bác "như thế tức là hàm ý là cậu không giỏi". Tôi nói với anh ấy "Em thấy không có gì phải nghi ngờ về điều đó. Nhưng qua đó em thấy hy vọng. Em sẽ cày đến năm 40 tuổi để được như Julia bây giờ. Thế cũng tốt rồi." Nói như vậy để tự trấn an, nhưng tôi cũng còn băn khoăn, nếu ra nước ngoài làm việc, mình có thể cạnh tranh để làm những vấn đề mà người ta đang làm hay không, không thể giơ những vấn đề cũ rích hoặc sách giáo khoa ra để loè họ lâu dài được. 

Tôi quyết định phải làm cái gì đó mới lạ để thử sức theo hai hướng. Không khó lắm để nhận ra không gian thương của các coset của nhóm Poincaré với nhóm quay 4 chiều SO(3,1) chính là đa tạp vật lý 4 chiều. Như vậy biểu diễn của nhóm Poincaré sẽ là các biểu diễn của nhóm SO(3,1) đồng thời là các hàm theo 4 toạ độ thực. Như vậy, ngôn ngữ biểu diễn đối xứng theo coset là phổ quát và không gian vật lý sinh ra một cách tự nhiên nhờ nhóm đối xứng. Nhưng các biểu diễn tuyến tính thường chỉ mô tả được các đối tượng lý tưởng không có tương tác. Nếu chọn một coset khác, có khả năng sẽ sinh ra các tương tác phi tuyến.

Sau nhiều ngày lục lọi tất cả các số tạp chí Physical Review D có ở thư viện quốc gia, tôi tìm được hai công trình của Coleman-Wess-Zumino nói về biểu diễn phi tuyến của một nhóm G, thông qua không gian coset G/H.
Tôi đọc đến đâu hiểu sâu sắc đến đó và quyết định mở lưới theo hai hướng. Hướng thứ nhất, xem có thể tìm các biểu diễn khác nữa cho một nhóm đối xứng, mà có thể tìm được những hình thức tồn tại của nó trong thực tế với tư cách là các đối tượng vật lý. Hướng thứ hai, áp dụng phương pháp biểu diễn phi tuyến cho nhóm SU(2) X SU(2) để xây dựng lại mô hình Skyrme, qua đó tìm hiểu công trình của Witten-Nappi-Adkins. Không ngờ, ở cả hai hướng này, tôi đều có gặt hái. Thành quả tuy chỉ có thể ví như lông hổ nếu nghĩ tới con hổ tôi định săn, nhưng vẫn là hai ý tưởng trong số 3-4 ý tưởng mà tôi đắc ý nhất.

Ở hướng thứ nhất tôi đặt vấn đề tổng quát hoá biểu diễn trong các không gian vật lý có tô pô không tầm thường với các đối tượng đo được là cocycles được phân thành từng bậc. 1-cocycle của một biểu diễn tô pô của một nhóm G chính là trường vector tương tác Yang-Mills của nhóm G, theo ngôn ngữ toán học đây chính là liên thông. Các thế tương tác điện từ, tương tác mạnh, yếu, hấp dẫn đều sinh ra với cách này. 2-cocycle cũng hiển nhiên, chính là cường độ trường, ứng với khái niệm độ cong. Tôi nhanh chóng chỉ ra được các cocycle ở bậc cao hơn là các đặc trưng tô pô như lớp Chern, Chern-Simon,... Điều đáng nói là các cocycle bậc 3, nếu tồn tại sẽ có các hiệu ứng vật lý đo được như hiệu ứng Bohm-Aharonov. Sau này trong các hệ thống vật lý chất ngưng tụ với tương tác mạnh, hoặc với chùm electron đi qua vùng không gian có một lõi từ, người ta cũng đã đo được các hiệu ứng này. Tôi tin rằng các cocycle bậc cao hơn nữa cũng sẽ quan sát được. Tôi có được một biểu diễn hết sức đẹp đẽ và đơn giản đúng theo phong cách Đào Vọng Đức các cocycle dưới dạng công thức Cambel-Haussdorf cho các đại lượng không giao hoán, không kết hợp,... Công trình được đăng trên tạp chí Phys.Lett. B. là nơi nhiều nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng, trong đó có Witten thường đăng bài. Tôi còn nhớ cảm giác sung sướng và tự hào khi đó: Từ một nơi xa xôi hẻo lánh, không có ai hướng dẫn, không có tài liệu khoa học mới nhất, tôi có thể tạo ra một sản phẩm được chấp nhận trên một tạp chí hàng đầu. Nếu không đổ mồ hôi học toán thật kỹ càng như thế, tôi đã không thể làm được điều đó. 

Trên hướng thứ hai, tôi bắt đầu bằng đối xứng SU(2) X SU(2) thường gọi là đối xứng chiral mà các nhà vật lý đã nghiên cứu rất kỹ trong những năm 50 để tìm hiểu về quan hệ giữa hạt pi meson và tương tác mạnh. Đối xứng này bị vi phạm bởi khối lượng pion và chỉ còn lại đối xứng SU(2) ở năng lượng thấp. Ban đầu tôi chỉ đơn giản muốn dùng phương pháp biểu diễn phi tuyến của Coleman-Wess-Zumino và định chứng minh rằng lý thuyết Skyrme sinh ra một cách tự nhiên nhờ biểu diễn phi tuyến. Thật bất ngờ, tôi nhận được một lý thuyết rất giống nhưng sai khác lý thuyết Skyrme ở các số hạng bậc cao hơn. Và tôi đã quyết định bắt chước Witten-Nappi-Adkins để tính lại các đại lượng có thể quan sát bằng thực nghiệm. Khi đó tôi đề nghị với người bạn vong niên là Phạm Thúc Tuyền cùng thực hiện các tính toán này. Sau một năm, các kết quả nhận được rất bất ngờ là lý thuyết của chúng tôi có độ phù hợp với thực nghiệm cao hơn lý thuyết của Witten-Nappi-Adkins(WNA). Đặc biệt, một số giá trị của WNA đều cao hơn giá trị thực nghiệm, một số giá trị của mô hình của chúng tôi lại thấp hơn giá trị thực nghiệm. Có thể dự báo rằng nếu thêm vào các tương tác khác, mô hình của chúng tôi sẽ hội tụ tới thực tế, trong khi mô hình Skyrme cổ điển sẽ ngày càng xa thực tế. Tuy nhiên, tôi đã phải bắt đầu cuộc phiêu lưu thế giới sớm hơn thực tế, nên phải rời bỏ hai góc lưới đã chăng. Dẫu chẳng săn được hổ, nhưng hai góc lưới đó chắc chắn cũng có thể có thu hoạch không tồi. Chắc đó cũng là định mệnh của tôi, cũng có thể là hành trang của Nguyễn Hoàng Phương để lại, không thể thành chuyên gia trong một lĩnh vực. Tuy vậy chắc chắn một ngày nào đó tôi sẽ quay lại. Trong hành trình săn hổ, đôi khi buộc phải để lại những công việc dở dang. Đó chính là một cuộc đánh cược: đổi những thành tựu có thể thấy được để tìm tới một hình ảnh huy hoàng hơn, nhưng cũng có thể là một ảo giác, để trở về với tay trắng (còn nữa)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (2)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (2)

Vật lý khác Toán học ở chỗ luôn hướng về những mục tiêu xác định. Vật lý của các thập kỷ từ sau khi ra đời của Cơ học lượng tử, thay đổi cung bậc theo từng thập kỷ. Thập kỷ 50 là thập kỷ của hàng loạt tư tưởng tiên phong: đối xứng định xứ, vi phạm đối xứng phải trái, cơ chế sinh khối lượng, không gian vật lý nhiều chiều, lý thuyết dây, tính đối ngẫu, soliton.
Các ý tưởng khai phóng trong thời kỳ này đều trở thành những tòa lâu đài rực rỡ của vật lý trong những thập kỷ tiếp sau. Các tư tưởng này sau khi thoát khỏi hình hài sơ sinh đã phát lộ những kiến trúc toán học tiên tiến nhất của thời đại: không gian phân thớ, lý thuyết đối ngẫu, lý thuyết khả tích, đa tạp Calabi-Yau, các lớp đặc trưng, nhóm đồng luân, đối đồng điều. Toán học và Vật lý dường như đang tăng tốc tới điểm hẹn của thế kỷ.
Vật lý của thập kỷ 60-70 là khúc cao trào của một mùa gặt viên mãn của tư tưởng đối xứng của Egene Wigner với những viễn cảnh thơ mộng nhất. Các tư tưởng vật lý đều trong sáng và mạnh mẽ. 
Trong khi cả nhân loại đang hứng khởi với những lý thuyết thống nhất điện từ yếu, sắc động học lượng tử, siêu thống nhất, chúng tôi, những người bị gạt ra rìa cuộc chơi, chỉ nghe được những tiếng vọng thưa thớt, muộn màng của một kỳ lễ hội huy hoàng.
Một số người trong bọn tôi tin rằng chỉ cần đọc thật kỹ một cuốn sách và lặp lại được hết các công thức trong đó là sẽ "vượt vũ môn hóa rồng". Tôi cũng đã thử làm như thế, nhưng tôi không cảm thấy hạnh phúc với những công thức tính toán, có lẽ bởi vì tôi không được sinh ra với năng khiếu làm xiếc hoặc cảm hứng tự nhiên với các con số. Đặc biệt càng đi theo con đường này, tôi càng cảm giác được, cái đích ở cuối con đường này không phải là cuộc gặp gỡ của các tư tưởng Toán và Vật lý hay các cấu trúc phổ quát mà Nguyễn Hoàng Phương và Egene Wigner đã hứa hẹn với tôi.
Không hiểu là vì không có phương hướng hay vì may mắn mà có một dự cảm, tôi bắt đầu hành hương trở lại quá khức và tìm về với Eugene Wigner. Tôi vẫn còn nhớ rõ sự sung sướng và ngạc nhiên khi tự mình đọc và hiểu được công trình của Wigner về biểu diễn nhóm Poincaré. Nhóm Poincaré chính là nhóm đối xứng của không thời gian vật lý 4 chiều Minkovsky mà chúng ta đã thấy rõ ý nghĩa qua thuyết tương đối nghĩa hẹp của Einstein. Đối xứng này bao gồm phép biến đổi tịnh tiến, phản ánh tính đồng nhất và phép biến đổi quay, phản ánh tính đẳng hướng của không thời gian. Nhóm Poincaré là một nhóm nửa đơn, có hai bất biến Casimir, ứng với khối lượng và spin. Như vậy, các biểu diễn của nhóm Poincaré đều được đặc trưng bởi hai số không đổi (m,j) và đó chính là các hạt cơ bản. Và do nhóm Poincaré có 4 tờ liên thông, đối xứng không thời gian Poincaré còn kéo theo sự tồn tại của các phản hạt, hạt có số chẵn lẻ trái dấu và thế giới vật lý với thời gian quay ngược về quá khứ. Đây thực ra là một kết quả kỳ diệu của Toán học, mà mỗi chi tiết đều phản ánh một thực tế vật lý sống động đẹp đẽ đến mức kinh ngạc. Đó là những ví dụ hiếm hoi để thấy rằng vật lý không chỉ sống nhờ vào những phép tính gần đúng.
Sau khi đọc công trình của Wigner, tôi bắt đầu công cuộc tìm kiếm một nhóm đối xứng đơn là mở rộng của nhóm Poincaré. Một nhóm như vậy sẽ có một bất biến Casimir duy nhất, và như vậy sẽ có một công thức của khối lượng theo các đặc trưng như spin và một số đại lượng khác. Đó sẽ là lời giải đẹp đẽ cho phổ khối lượng của các hạt cơ bản, giống như các chuỗi phổ Lyman, Rydberg của nguyên tử hydro trong cơ học lượng tử. Nhóm đó cũng thống nhất đối xứng không thời gian với các thuộc tính nội tại của vật chất. Tôi hoàn toàn không biết khi đó người ta đã chứng minh được các định lý no-go, một nhóm Lie đơn như vậy không tồn tại. Tôi còn nhớ cảm giác hụt hẫng, đau đớn và thất vọng tột độ khi tìm được công trình của Coleman-Mandula chứng minh chặt chẽ, đơn giản và sắc bén định lý no-go. Điều đó có nghĩa là việc kết nối thế giới bên ngoài và thế giới bên trong là hoàn toàn vô vọng về mặt toán học.
Nhưng rồi tôi nhanh chóng tìm được công trình của Haag-Lopuszansky-Sohnius về khả năng vượt qua định lý no-go với các cấu trúc toán học mới gọi là đại số Lie phân bậc, với các tham số là các số Grassmann. Đó chính là cơ sở của một loại lý thuyết vật lý mới gọi là lý thuyết trường siêu đối xứng. Người ta cũng nhanh chóng tìm ra một cấu trúc không gian mới, gọi là siêu không gian, mở rộng của không gian Minkovsky bằng cách đưa vào các biến Grassmann. Siêu không gian làm tôi bắt đầu tin rằng, vật lý được xác định bởi một cấu trúc không gian có tô pô đặc biệt nào đó. Điều đó làm tôi nhớ tới cấu trúc không thời gian twistor của Penrose. Mỗi cấu trúc tô pô đặc biệt sẽ tiềm ẩn một số tính chất vật lý đặc biệt. Tôi đã vượt qua được hai thập kỷ 60-70 là thời kỳ lãng mạn của vật lý hiện đại. Tôi đã bỏ ra một năm để nhồi nhét các kiến thức của tô pô vi phân. Tôi có thời gian, vì đằng nào cũng không có gì để đọc. Tô pô vi phân là một cấu trúc đơn giản và đẹp đẽ, không biết nó thực sự như vậy hay nhờ cách trình bày tuyệt vời sáng sủa của John Milnor. Tôi chỉ tâm huyết nhất ba nội dung có liên quan đến vật lý: Thứ nhất, các đa tạp vi phân được mô tả nhờ các hệ tọa độ địa phương. Qua đó tôi mới hiểu sâu sắc được lý thuyết tương đối rộng của Einstein và hơn thế nữa là nhận ra một điều cái mình tưởng là đã hiểu rõ thật ra là chưa hiểu gì. Thứ hai, tô pô vi phân cũng chứng minh được các đa tạp có số chiều lớn hơn và nhỏ hơn 4 đều có thể phân loại được. Điều đó hoàn toàn phù hợp với việc trong vật lý, đa tạp không thời gian 4 chiều, là nơi chúng ta đang tồn tại mới gây nhiều vấn đề phiền toái. Khi đó, do được tư tưởng của Wigner dẫn dắt, tôi đã có thể tự mình đặt ra vấn đề, nếu không gian 4 chiều chỉ là một ảo giác, trong khi không gian vật lý thực có thể nhiều hơn 4 chiều, thì thế giới sẽ trở nên đẹp đẽ. Vật lý của những thập kỷ 80-90 thực tế đã đi theo con đường đó. Thứ ba, cấu trúc không gian phân thớ, đã kích thích trong tôi nhiều tư tưởng vật lý mới cho đến tận ngày nay. Trước hết, các lý thuyết bất biến đối xứng định xứ dùng phổ biến trong vật lý đều có cấu trúc không gian phân thớ. Tuy nhiên, tôi tin rằng còn có những cấu trúc tinh tế mang nhiều tính chất vật lý mới hơn. Dự cảm đó cũng thành sự thực trong những năm 90.
Trong những ngày đó, tôi có cơ hội ứng dụng tư tưởng đối xứng chi phối toàn bộ thế giới của Wigner vào thực tế Việt Nam. Hồi đó, cậu tôi là nhà văn Nguyễn Chí Trung, đang cùng nhà văn Nguyên Ngọc soạn thảo đề dẫn cho đại hội nhà văn. Tôi nghe lỏm được câu chuyện trao đổi của cậu với bố tôi, nhà văn Huy Phương, về việc đề dẫn phải cho phép tính đa dạng trong văn học, tránh rập khuôn, tuyên truyền một chiều, một kiểu hàng loạt như trong thời kỳ cũ. Tuy nhiên, đã có những tuyên ngôn của các lãnh đạo về việc nhà văn phải đặt cuộc sống cao hơn văn học. Các ông cũng nhắc đến việc có một nhà văn đi học Nga về trình bày việc ở Nga người ta cho phép văn học phong phú hơn đời sống. Ngay sau đó nhà văn nọ đã bị cách chức. Tôi cười xin phép bố và cậu có ý kiến "Ông nhà văn kia không tự bảo vệ được mình là vì không học Toán đến nơi đến chốn". Phải nói bố và cậu tôi tròn mắt thế nào khi nghe kết luận dở hơi của tôi. Tôi tiếp tục "Nói đặt cuộc sống cao hơn văn học tức là hàm ý văn học phải nằm trong cuộc sống. Con không biết điều đó có đúng không. Nhưng điều đó đã kéo theo đời sống phong phú hơn văn học. Cũng ví như tập các tam giác đều nằm trong tập các tam cân, chính vì vậy mà tam giác đều có nhiều thuộc tính hơn." Các cụ chịu cứng. Cậu tôi tấm tắc "Toán học tuyệt vời. Dùng tam giác có thể chứng minh được văn học phong phú hơn cuộc sống. Đề dẫn không còn vấn đề gì nữa".
Sau khi đề dẫn được báo cáo tại Đại hội nhà văn, tôi thấy cậu tôi bê một đống sách toán cao cấp về đọc. Nhưng nhiều khi cả một biển kiến thức chỉ có thể chắt lọc được một chút giá trị. Nhìn thấy cơ hội ứng dụng trong thực tế như vậy, cũng có thể là do đã có tư duy trực quan vật lý của Engene Wigner dẫn dắt. (còn nữa)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (1)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (1)
Vài lời phi lộ: 
Trước hết phải nói rằng, tôi phân biệt Toán học với hệ thống concept với Tính toán, mà đa số các nhà vật lý lý thuyết đã nâng lên thành nghệ thuật và không cần biết tới cơ sở của nó là gì.
Tôi có một niềm tin, chẳng có cơ sở lý luận nào cả, nhưng vô cùng vững chắc là các cuộc cách mạng về khoa học, tư tưởng của nhân loại đều bắt đầu từ việc hai người bạn Toán học và Vật lý gặp lại nhau sau một thời gian xa cách để đeo đuổi những ước vọng riêng. Chính ở thời điểm đó, hệ thống các khái niệm mới ra đời, mang theo tinh hoa tư tưởng đã chín muồi của thời đại. "Nguyên lý" của Newton đã ra đời cùng Giải tích toán học và thăng hoa cùng tư tưởng của thời đại giải phóng tư tưởng con người khỏi giáo điều thời trung cổ. Bất định luận Heisenberg ra đời gần như đồng thời với định lý Godel, đưa con người vào kỷ nguyên của điện tử, tự do, bình đẳng thực sự. Có lẽ, niềm tin đó bắt nguồn từ ba người: Nguyễn Hoàng Phương, Egene Wigner và Edward Witten. 
Nguyễn Hoàng Phương là người Việt Nam có bộ óc thông minh nhất mà tôi đã từng biết. Ông có một niềm tin trong trẻo và thơ ngây vào sự tồn tại của các cấu trúc phổ quát. Các cấu trúc đó vừa là Toán học vừa là Vật lý. Ông là người gieo vào tôi niềm tin vào các cấu trúc toán học luôn tồn tại dưới dạng một thực thể vật lý trong một điều kiện nào đó, dù ở trên trái đất, với mức năng lượng thông thường hoặc ở những vùng xa xôi nào đó của vũ trụ. Ông đã say mê với các số quaternions không giao hoán và khả năng của chúng trong việc mô tả cơ học lượng tử. Phải đến mười năm sau, tôi mới tìm thấy các công trình tương tự ở mức hoàn mỹ hơn. Nguyễn Hoàng Phương là người đam mê cái đẹp, ông không bao giờ chịu dừng chân để trau chuốt tinh luyện các mỏ quặng mà ông khám phá ra. Sau quaternions, ông đã say mê với các số octonions không kết hợp và khả năng thống nhất vật lý với thế giới sinh vật và tâm lý. Nhiều người không biết ông, nghĩ rằng ông là một người thừa ý tưởng, thiếu tri thức, tác giả của các lý thuyết broken pot. Riêng tôi, người đã có cơ hội tiếp xúc với ông nhiều giờ, biết chắc không phải vậy. Nguyễn Hoàng Phương là người hiểu sâu sắc Toán học và Vật lý, có kỹ thuật tính toán siêu việt và một nền triết học hết sức vững chắc. Có thể ông không để lại cho đời được những công trình khoa học thực thụ, chỉ vì quá đam mê vào một cấu trúc phổ quát cuối cùng, mà thời đại của ông chưa đủ điều kiện để ủ hương cho chín muồi. Nguyễn Hoàng Phương có một biệt tài, có thể trình bày mọi vấn đề trở nên hết sức đơn giản. Ông đã nói rằng có thể dạy tôi toàn bộ chương trình toán cấp 3 và năm đầu đại học trong 20 buổi. Tôi đã chọn con đường khác, tôi chưa bao giờ là học trò của ông, nhưng tôi biết ơn ông về một niềm tin có phần Platonist và cuốn sách về lý thuyết nhóm trong vật lý lượng tử của ông với giòng chữ "Cháu Việt, lao động để tư duy và sáng tạo là tồn tại". Tôi đã cố gắng đọc bộ sách của Nguyễn Hoàng Phương, và cũng phải nhiều năm sau đó tôi mới hiểu hết các khái niệm cũng như kỹ thuật trình bày trong bộ sách đó. Nhưng nó đã đưa tôi đến với Egene Wigner.
Tôi biết đến tư tưởng của Egene Wigner qua các bộ sách của Feza Gursey và Lichtenberg. Trong những năm cuối của đại học tôi vẫn chưa đủ sức đọc các tác phẩm của Wigner. Có lẽ Wigner là người đầu tiên đưa lý thuyết nhóm, một cấu trúc toán học trừu tượng nhưng vô cùng đơn giản vào vật lý một cách có hệ thống. Vật lý của những thập kỷ 40-70 trở nên đẹp lung linh, đều dựa trên tư tưởng sáng giá nhất thời sau Cơ lượng tử này của Wigner. Lý thuyết nhóm là lý thuyết toán học của các đối xứng, các bất biến và sau đó là các đại lượng vật lý bảo toàn. Giai đoạn sơ khai của vật lý là việc con người cố nhận thức được các quy luật, các tính chất đối xứng qua quan sát. Giai đoạn tiếp theo là việc phát triển các lý thuyết thực nghiệm (empirical) với trung tâm là các bất biến. Và cuối cùng là giai đoạn hình thành các lý thuyết hình thức, với các khái niệm mới gắn chặt với các quan hệ định lượng bảo toàn trong các hệ động lực phát triển theo thời gian. Trung tâm của việc nghiên cứu một hệ thống vật lý chính là việc theo dõi các đại lượng như thế trong quá trình tiến hóa. Một cách rộng hơn, lý thuyết nhóm còn là cơ sở của việc hình thành khái niệm trừu tượng và phân loại sự vật. Khái niệm một sự vật, như khái niệm con bò, là việc tổng hợp kinh nghiệm quan sát từ nhiều con bò, và có một tập hợp tính chất bất biến với việc thay đổi con bò này bằng một con bò cụ thể khác. Các phép thay đổi như vậy trên tập hợp con bò sẽ bất biến và tạo ra khái niệm con bò. Các khái niệm sẽ được tổng quát hóa hay cụ thể hóa nhờ việc mở rộng hay thu hẹp nhóm, tương đương với việc lược bỏ hay thêm vào các thuộc tính. Trong những năm 60, các công trình của Gell-Mann mở rộng nhóm đối xứng isospin SU(2) của Pauli-Heisenberg, thành nhóm SU(3) để phân loại các hạt cơ bản. Đáng kinh ngạc nhất là Gell Mann tiên đoán được sự tồn tại của hạt omega, với khối lượng đã tính toán chính xác được từ trước nhờ lý thuyết và được kiểm chứng bằng thực nghiệm. Kết quả này làm người ta tin rằng lý thuyết nhóm sẽ đưa vật lý tới một thời kỳ huy hoàng như khi người ta tìm ra các hành tinh mới nhờ các công thức toán học thuần túy. 
Tôi chọn đi vào vật lý với những niềm tin thơ ngây như vậy, được củng cố bởi các nhà vật lý, các nhân vật lãng mạn của Fredrich Durenmatt. Tôi đã sống, làm việc như một con thiêu thân, trong những điều kiện vật chất tệ hại nhất mà đất nước đã phải trải qua trong thời kỳ hậu chiến. Nhiều năm sau, GS Kameshwar Wali, còn nhắc lại "Tôi vẫn còn nhớ các bản thảo của anh, với các công thức được viết trên những tờ giấy màu nâu". Đó không phải là việc đáng phàn nàn. Lớp những người nghiên cứu trẻ chúng tôi, chẳng có gì ngoài say mê khoa học như những kẻ dở người, mỗi tháng có hai chiếc bút chì, một xấp giấy trắng và 4 xấp giấy nâu, chỉ viết được trên một mặt. Kameshwar Wali đã đến Hà Nội trong những ngày đó, Nina Byer (chị ruột Judith Ladinsky) đã đến Hà Nội trong những ngày đó và Ed Cooperman cũng đã đến Hà Nội trong những ngày đó. Với mỗi người, tôi đều hỏi cùng một câu "chúng tôi nên làm gì?". Ed Cooperman là một nhà ngoại giao tiêu biểu hứa là sẽ cố gắng hơn nữa giúp Việt Nam với tư cách là Chủ tịch hội các nhà khoa học Mỹ ủng hộ Việt Nam và nói thêm "anh biết đấy, tôi không phải là nhà vật lý lý thuyết". Nina Byer, hỏi đi hỏi lại có mỗi một câu "anh đang tính cái gì trong vật lý". Bà thông cảm với khó khăn của tôi đến mức yêu cầu vị hôn phu cấp ngay cho tôi một học bổng nghiên cứu sinh tại UCLA (tất nhiên vào thời điểm đó, đây chỉ là một ý tưởng điên rồ). Kamesh Wali, chỉ cười và nói "Theo tôi, anh nên giải bài toán Fermat hoặc bài toán cầm tù quark. Đằng nào chúng tôi cũng sẽ không sớm có kết quả." (còn nữa)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (4)

Sau này công trình này của chúng tôi được Feza Gursey nhắc tới như là mô hình Viet-Tuyen. Điều mà tôi thấy thú vị nhất không phải là độ phù hợp với thực nghiệm của mô hình mà là cơ sở toán học của nó. Tôi vẫn mong ước có thời gian để trở lại với các hướng nghiên cứu này. Làm một người đam mê quá nhiều thứ cũng khó mà giải quyết các vấn đề đến nơi đến chốn. Nhưng điều chính, tôi vẫn cảm thấy tuy đây là hai góc lưới săn hổ, nhưng con hổ cần tìm, có lẽ không ở gần hai góc lưới này.

Khái niệm săn hổ là của Chia Tze, giáo sư đại học Virginia Polytechnique, học trò của Feza Gursey, tác giả của thuật ngữ skyrmion, truyền cho tôi. Chia Tze, có tên Việt là Tạ Gia Hùng, anh có 1/2 gốc Trung Quốc, 1/4 gốc Việt, 1/4 gốc Pháp. Anh sinh ra và lớn lên ở Hà Nội, rời Hà Nội năm 16 tuổi, di cư vào Nam, sang Pháp rồi đi Mỹ, còn nhớ cô gái nữ sinh trường Trưng Vương nào đó rất đẹp. Anh nói có một số người làm vật lý theo lối chăng lưới rộng rồi đi vòng vòng quanh bãi săn để đợi cơ hội bắt con mồi. Việc đánh bắt này rất mất công, và có thể không săn được gì, nhưng niềm sung sướng lớn nhất là cảm xúc đi vòng quanh sân săn hổ. Feza Gursey, Nguyễn Hoàng Phương, Witten, Wigner đều là người săn hổ và tôi là người muốn theo họ.

Nhiều khi tôi cũng tự hỏi xem con hổ đó thực ra là cái gì, và ít ra chúng tôi cũng phải biết một vài đặc điểm con mồi chúng tôi muốn tìm kiếm. Sau này tôi mới vỡ lẽ mỗi người có một hình dung khác nhau về con hổ mà mình đang săn. Đối với tôi, có lẽ đó là một lý thuyết giải quyết bài toán tương tác mạnh, đồng thời dựa trên một cấu trúc không thời gian, với các cấu trúc tô pô đặc biệt, là biểu diễn của các đối xứng nhất định theo một nghĩa suy rộng nào đó là tổng quát hoá của biểu diễn phi tuyến. Vấn đề của vật lý hiện nay có lẽ không phải việc thống nhất vật lý lượng tử với lý thuyết hấp dẫn của Einstein, các tích phân phân kỳ hay các lý thuyết thống nhất các tương tác. Tôi chẳng thấy băn khoăn gì nếu các vấn đề đó không được giải quyết, vì tôi cho đó là vấn đề của tư duy con người hơn là vấn đề của vật lý, của thế giới khách quan. Điểm yếu nhất của vật lý là lý thuyết ở các năng lượng khác nhau là các lý thuyết hoàn toàn riêng biệt, không có một sự chuyển pha thực sự "trơn tru" giữa lý thuyết này và lý thuyết kia. Vấn đề này có tính phổ quát, ví dụ người ta đã biết lý thuyết cho tương tác mạnh ở năng lượng rất cao chính là QCD tương tác khá yếu với nhau. Khi năng lượng giảm xuống, sẽ có hiện tượng vi phạm đối xứng tự phát và chuyển pha sang các quark-phản quark sẽ ngưng tụ thành các meson và baryon. Hiện nay chưa có cách gì "suy ra" lý thuyết cho meson và baryon từ lý thuyết QCD. Mặc dù cũng có một số hình thức luận trường hiệu dụng có thể suy ra một số số hạng đầu tiên, nhưng các lý thuyết này vẫn chỉ là các số hạng đầu tiên của một chuỗi vô tận. Cũng tương tự, trong vật lý chất rắn vẫn khó mà khó thể theo dõi một lý thuyết từ pha này chuyển qua pha khác.

Thời gian 4 năm ở Hungary trôi qua khá nhanh, do bận công tác giảng dạy, mưu sinh và chuẩn bị cho các cuộc phiêu lưu về phương Tây. Nếu ở lại Hungary có lẽ tôi đã có một vị trí giáo sư khá chắc chắn và một tài sản vật chất không tồi, nhưng tôi cần tiếp tục cuộc hành trình định mệnh của mình.

Trong thời gian này tôi bắt đầu làm quen với hình học không giao hoán của Alain Connes. Lần đầu tiên tôi đọc công trình của Alain Connes về hình học không giao hoán với đại số Z_2, tôi không thực sự rung động với kết quả về lý thuyết Salam-Weinberg và trường Higgs được xây dựng thuần tuý bằng hình học không giao hoán. Cái mà tôi để ý chẳng qua là phương pháp xây dựng hình học mới dựa trên một đại số nào đó có liên quan tới đối xứng mà người ta quan sát được. Tôi thực sự đến với hình học không giao hoán là nhóm của Kameshwar Wali và Feza Gursey có một hình thức luận cho mô hình Salam-Weiberg khác dựa trên đại số quaternion thay cho Z_2. Họ giao cho tôi việc siêu đối xứng hoá mô hình này, để chuẩn bị cho việc tôi đến làm việc tại Syracuse. Sau đó, tôi cũng đã có được một công trình ký tên chung với Feza Gursey lừng danh. Tôi không bao giờ được gặp mặt Feza vì ông mất không lâu sau khi công trình của chúng tôi được in và trước khi tôi đến Mỹ.

Sau khi tính toán lại một công trình của Wali và Gursey về lỗ đen, tôi đưa ra một nghiệm hoàn toàn khác mà trước đó nhóm này không thể tìm ra. Tôi đã đưa ra một phân tích toàn cục trước khi giải, do đó đã tìm ra một nghiệm gần điểm kỳ dị. Thắng lợi này cho phép tôi lấy được một chút tự tin, là với kiến thức toán học chuẩn bị thời ở Việt Nam, tôi đã giải được một bài toán mà các nhà vật lý lớn, có tiếng không giải được.

Với hành trang đó và trong thời gian Kamesh Wali nghỉ sabatical, tôi hoàn toàn tự do để vào một chiến dịch săn hổ thực sự: xây dựng hình học không giao hoán cho lý thuyết hấp dẫn của Einstein. Tôi bắt tay vào đọc công trình đầu tiên về đề tài này của Frohlich và Chamseddine. Tiếc thay công trình này là một định lý no-go: hình học Riemann không giao hoán không mang lại vật lý gì mới ngoài trường hấp dẫn của Einstein. Điều đó có nghĩa là chuyển từ hình học Riemann bình thường sang hình học không giao hoán Z_2 không mang lại nội dung vật lý gì mới. Lần đọc đầu tiên, tôi thấy chứng minh của Frohlich và Chamseddine hoàn toàn chặt chẽ, dễ hiểu. Tuy nhiên, có một điều gì đó, có thể là trực quan vật lý hoặc nhạy cảm toán học, nói với tôi rằng kết quả này không đúng. Tôi đọc lại thêm một lần nữa và cẩn thận tham khảo từng bước với các cuốn sách về lý thuyết hấp dẫn Einstein và tôi đã phát hiện ra Frohlich và Chamseddine đã phạm sai lầm khi phát biểu nguyên lý tương đương, và sử dụng sai công thức cho các hệ quy chiếu khác nhau. Sau khi điều chỉnh lại điều này, tôi thấy metrics của hình học giao hoán sẽ gồm metric của không gian 4 chiều thông thường, metric của không gian trong Z_2 là một hàm vô hướng và metric giữa không gian trong và không gian ngoài là một trường vector. Tôi đã tính đi tính lại độ cong của lý thuyết này tới 10 lần, do kết quả tôi nhận được chính là Lagrangian của lý thuyết Kaluza-Klein, lý thuyết hấp dẫn trong không gian 5 chiều. Lý thuyết này tôi đã nghiên cứu từ trước, là lý thuyết thống nhất tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ, bên cạnh đó hạt vô hướng là hạt Brans-Dicke. Cảm giác hồi hộp, vừa không tin ở kết quả lại đẹp đẽ như vậy, không tin mình lại vượt qua được Frohlich, người được tôn vinh là nhà vật lý toán lớn nhất đương thời, mà phải tính đi tính lại nhiều lần cho  chắc chắn. Tôi phải mất hơn nửa năm để tự thuyết phục mình là kết quả không còn sai sót. Thời gian đó A.Balachandra, một giáo sư rất nổi tiếng, ghé qua phòng tôi, nhìn đống giấy nháp và các công thức dài dằng dặc, thương hại nói với tôi "Tôi chưa thấy ai có tính toán đồ sộ như anh. Anh qua nhóm tôi. Chúng tôi có nhiều kết quả hay. Nhưng tính toán rất ít". Tôi bắt đầu tham gia thảo luận với nhóm của Balachandra, nhưng vẫn tiếp tục tính toán. Khi có kết quả cuối cùng, tôi nói với Landi, một tiến sĩ Toán trong nhóm của Balachandra "Tôi có một kết quả rất hay. Hình học không giao hoán của Connes áp dụng cho hấp dẫn có kết quả giống hệt lý thuyết Kaluza-Klein, thống nhất được với trường điện tử. Tôi muốn mời anh tham gia. Trước hết anh kiểm tra hộ tôi xem có sai sót gì về Toán học và tính toán." Rất nhanh, Landi đã kiểm tra lại các tính toán của tôi và khẳng định rằng kết quả hoàn toàn đúng. Anh ta thích thú đến nỗi đi khoe khắp nơi về công trình này. Balachandra, mời tôi thuyết trình cho nhóm của ông về hình học không giao hoán, vì khi đó nhóm của ông cũng bắt đầu cần tới công cụ toán học này. Dưới ánh sáng của kết quả vừa nhận được, tôi đưa ra một cách tiệm cận hết sức mới mẻ về hình học không giao hoán mà sau này các nghiên cứu sinh của Balachandra nói rằng, chúng tôi đọc hàng năm trời mà không hiểu tư tưởng chính, thấy phức tạp và rối rắm. Anh đã nói trong một tiếng đồng hồ, chúng tôi đã hiểu ra vấn đề. Tôi cho rằng lý thuyết của Connes chính là discrete hoá lý thuyết Kaluza-Klein. Thay vì một vòng tròn, chiều thứ 5 được discrete hoá thành 2 điểm và trang bị một đại số Z_2. Về nguyên tắc người ta có thể thay thành 4 điểm và trang bị đại số quaternion,... Khai triển điều hoà theo chiều thứ năm discrete sẽ ra các nội dung vật lý mới, không có gì lạ. Tôi gửi đăng công trình trên Phys.Letters B, công trình do Chamseddine phản biện, nên cũng rắc rối, vì anh ta khăng khăng về định lý no-go là vì tôn trọng Frohlich, tôi không thể chỉ ra điểm sai của họ. Cũng may vì có Wali đồng tác giả, chúng tôi thành công trong việc thuyết phục Chamsedine, là chúng tôi có một cấu trúc toán học hoàn toàn khác nên mới có kết quả như vậy.

Sau công trình này và bài giảng cho nhóm Balachandra, tôi nhận thấy lý thuyết của tôi còn có thể tổng quát hoá được tiếp tục. Do metrics trong không gian 4 chiều, các trường vector và vô hướng trong lý thuyết còn có thể là các hàm của không thời gian 4 chiều và chiều discrete Z_2. Nếu khai triển theo chiều Z_2 các hàm này chúng ta sẽ có các cặp metrics 4 chiều, cặp vector, cặp vô hướng. Trong mỗi cặp một trường sẽ có khối lượng một trường sẽ không có khối lượng. Tôi và Wali đã viết một loạt bài về vấn đề này trong vài năm sau đó.

Tôi cũng xây dựng lại hình thức luận của Connes cho lý thuyết Salam-Weinberg-Glashow và đã đưa ra tiên đoán khối lượng top quark sau khi nhóm thực nghiệm ở CERN công bố họ tìm ra hạt này đúng 1 tuần, mức chênh lệch là khoảng 1.5%, trong sai số cho phép. Tại hội nghị 4 trường đại học Bắc Mỹ, rất nhiều người quan tâm tới kết quả kỳ lạ này. Sau đó tôi cũng tính được khối lượng Higgs vào cỡ 254 GeV. Điều thú vị nhất là các tính toán các đại lượng thực nghiệm lại đến từ một lý thuyết toán học hết sức trừu tượng.

Để chứng minh lý thuyết của mình có tính phổ quát khắp mọi nơi, tôi có ý tưởng xem xét các hệ 2 chiều, cho hiều ứng Hall lượng tử. Ứng dụng phương pháp của hình học không giao hoán, tôi đã dựng lại lý thuyết của Anthony Zee. Tôi đã nhờ Varghese John, một post-doc, chuyên nghiên cứu vật lý chất rắn đọc lại. Anh ta đã giải thích cho tôi nghe về vật lý của hệ hai chiều, trong đó có rất nhiều tư tưởng có thể áp dụng cho vật lý năng lượng cao.

Tôi phải chia tay vật lý khi đã nắm trong tay một lý thuyết thống nhất tất cả các tương tác, trên cơ sở hình học Riemann không giao hoán. Chắc chắn lý thuyết này có nhiều điều rất thú vị. Thậm chí mô hình thế giới với một cặp metric có khối lượng và không có khối lượng chắc chắn có nhiều hiệu ứng thú vị có thể khai thác. Tôi chia tay vật lý vào những năm cuối của thế kỷ trước để bắt đầu một cuộc săn khác, với say mê nhiệt tình như buổi ban đầu. Dù các chân trời mới có hấp dẫn thế nào đi nữa, tôi tin một ngày kia tôi sẽ trở lại với bãi săn cũ, cho dù biết không có con hổ nào như tưởng tượng ban đầu của mình.

 Cuộc cách mạng tư tưởng của thế kỷ 20 đã không diễn ra. Cuộc gặp gỡ của Toán học và Vật lý vào cuối thế kỷ đã không mang lại cuộc cách mạng trong vật lý, toán học và khoa học nói chung. Cuộc đi săn hổ của thế hệ chúng tôi đã kết thúc tay trắng. Trước mặt chúng tôi là một sa mạc mênh mông, sẽ không có gì thực sự mới lạ cho đến tận mức năng lượng Plank. Trong cuộc đi săn hổ này, có lẽ Witten có trách nhiệm một phần. Chính ông là người giăng lưới lớn nhất. Có lẽ, chúng tôi cần phải nghe Wolfram nhiều hơn, người khẳng định đã đến lúc phải làm New Kind of Science. Tuy vậy, tôi sẽ không bao giờ hối tiếc vì đã giành hơn 30 năm cho một cuộc săn hổ đầy cảm xúc với những con người tuyệt vời, được tiếp xúc với những ý tưởng đỉnh cao của nhân loại. Tôi được lợi gì? Có lẽ nên nhắc lại lời thầy của tôi, Lovas Istvan "Bớt ngu ngốc dốt nát, tại sao lại không có lợi." (hết)