Trong chương trình toán sơ cấp, có một miếng vá víu xấu xí, trình bày rất vụng về mặt logic mà ít ai để ý là công thức nhân lũy thừa của các số thực đơn giản a^x a^y = a^(x+y). Công thức này được hầu hết các học sinh thừa nhận hiển nhiên từ công thức nhân lũy thừa cho số nguyên a^n a^m = a^(m+n).
Tôi nhớ đã từng thắc mắc vì thấy không thể nào chứng minh được công thức nhân lũy thừa cho số thực từ định nghĩa ban đầu của nó. Thầy dạy toán của tôi thời đó là thầy Đặng Quan Viễn có lẽ là một nhà nghiên cứu giỏi hơn là một nhà sư phạm đã dành gần hết thời gian một học kỳ cho môn Đại số để chứng minh công thức này. Tôi còn nhớ nhiều khi thầy đứng cả nửa tiếng trước bảng một mình, mặc cho lũ học sinh cá biệt chúng tôi phá quấy, chuyện riêng, đánh cờ ca rô búng tay, vẩy mực vào áo nhau, ném giấy về phía bọn con gái. Bọn học sinh ngoan thì bối rối vì mách thầy là vô hiệu. Có lẽ chỉ có mình tôi vừa tham gia quậy phá tích cực vừa để ý tới thầy. Nhận thức được khó khăn này trong giáo trình, có lẽ là điểm tôi học được, luôn kính trọng và biết ơn thầy trong suốt quãng đời làm khoa học của mình.
Về định nghĩa của lũy thừa của một số thực a, trước hết được định nghĩa lũy thừa số nguyên dương n là tích n lần của a: a^n = a.a....a (n lần). Khi đó công thức nhân lũy thừa là hiển nhiên. Sau đó, người ta mở rộng lũy thừa cho số nguyên âm -n là nghịch đảo của a^n a^(-n) = 1/a^n. Rồi tiếp tục mở rộng lũy thừa với số mũ hữu tỷ n/m là a^(m/n) căn bậc n của a^m.
Việc mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực dạy rất sơ sài, gần như cho qua chuyện, do đó học sinh hoàn toàn không thấy lý thú một chút nào. Đặc biệt, công thức Moivre, gần như là nhồi sọ, vì không hề có bất cứ định nghĩa nào về lũy thừa với số mũ phức. Tuy nhiên, có lẽ cần dành thời lượng nhiều hơn và một cách dạy lý thú, động não hơn về phần này. Đây là một cơ hội để học sinh tiếp cận với việc mở rộng khái niệm toán học, có lẽ thao tác này sẽ là cơ bản đối với các nhà toán học tương lai, và nếu dạy khéo, sẽ là một kỹ năng cao cấp đối với những người không làm toán.
Trong giáo trình toán phổ thông cũ, thậm chí trên Wikipedia phần tiếng Việt, lũy thừa với số mũ được định nghĩa là giới hạn của lũy thừa số hữu tỷ "vì số thực là giới hạn của số hữu tỷ". Như vậy a^x = lim a^b khi b --> x. Phải nhận ra là mệnh đề "vì..." nói trên hoàn toàn vô nghĩa, trước hết mệnh đề đó không đảm bảo giới hạn là tồn tại. Do đó, nếu có học sinh giỏi toán nào để ý học phần này, thì hoàn toàn chỉ làm hại thần kinh của mình và thấy kiến thức sách giáo khoa không còn gì là thiêng liêng. Để hiểu sâu sắc được phần này, chắc chắn phải động đến các khái niệm cơ bản của toán giải tích như lát cắt, tính trù mật của trường số thực,.... Do đó cũng thật khó khăn để có thể giải thích kỹ càng phần này. Tuy vậy, theo quan điểm của tôi, đã dạy thì phải có nguyên tắc, không thì thôi, không dạy nửa vời phản logic. Phần giới hạn đã cho học sinh hiểu là giới hạn không chắc đã tồn tại, thì phần này không thể dạy như vậy. Để khắc phục, có một cách là khái niệm lũy thừa của số vô tỷ ra chỗ khác để đừng liên quan đến giới hạn, chẳng hạn có thể đưa vào chương trình sớm hơn, dưới dạng các quy tắc. Tương tự như việc nhân hai số thập phân hoặc hai số vô tỷ, chẳng ai căn vặn gì nhiều vì quy tắc là quy tắc, chỉ việc học và áp dụng. Chính quy tắc thể hiện định nghĩa dưới hình thức thực nghiệm (empirical).
Ở chương trình lớp trên hoàn toàn đủ thời gian và cần thiết để dạy một số khái niệm của toán giải tích, có thể bằng một ngôn ngữ sơ cấp trực quan và sống động, yêu cầu động não, tránh nhồi nhét về tính hội tụ và phân kỳ, tính chất trù mật, sắp được của số thực, khái niệm liên tục. Chẳng hạn, có thể dạy về việc mở rộng khái niệm số, nhấn mạnh phương pháp luận, nguyên tắc của việc mở rộng và giải thích yêu cầu thực tế cũng như ích lợi của việc mở rộng. Một hệ quả của việc không rèn luyện cẩn thận về phương pháp luận và nguyên tắc của việc mở rộng là việc Việt Nam nhan nhản những nhà khoa học mở rộng, tổng quát hóa vô nguyên tắc, chẳng biết mình đang làm gì. Từ tổng quát hóa vô nguyên tắc của nhà khoa học, tới việc chụp mũ, ngụy biện lươn lẹo, nâng quan điểm của các những người có chút quyền lực hay của toàn xã hội cũng chỉ cần thêm vào chút bả lợi ích và phát lộ bản năng chà đạp lẫn nhau. Biết đâu việc dạy toán cũng có phần trách nhiệm với xã hội hôm nay.
Việc mở rộng số thực sang số phức ở trường phổ thông hoàn toàn mang tính quy ước dưa trên ký hiệu i là căn bậc 2 của -1, mà không có một cơ sở phương pháp nào cho phép cộng nhân ký hiệu đó với số thực. Trong khi đó, chỉ cần có một khung phương pháp tốt về mở rộng, việc dạy số phức và công thức Moivre hoàn toàn không khó và đáng ra có thể mang lại lợi ích suốt đời cho học sinh phổ thông.
Đối với cá nhân tôi, công thức nhân lũy thừa vẫn còn ám ảnh đến bây giờ và suy nghĩ về nó vẫn còn có ích. Trong toán học không có gì là hiển nhiên bất biến cả. Nếu học toán để rồi nghĩ rằng các tín điều hiển nhiên trong xã hội là bất khả xâm phạm, thì có lẽ xã hội đã sai lầm đầu tư cho bạn đi học và làm toán.
Việc mở rộng công thức nhân lũy thừa có thể tiếp tục với các đối tượng rộng hơn số phức, chẳng hạn là với số mũ là các ma trận, toán tử hoặc các số siêu phức như quaternion, octonion (số Calley) hoặc các số Grassmann, Clifford. Trong Vật lý, việc sử dụng các đại lượng lấy giá trị mở rộng như vậy có từ thời phát minh ra cơ lượng tử, khi người ta hiểu rằng muốn mô tả các đại lượng thăng giáng ngẫu nhiên phải nhờ đến các ma trận hoặc các toán tử có thể không giao hoán như các số.
Công thức nhân lũy thừa đối với ma trận thường gọi là đồng nhất thức Cambell-Haussdorf. exp(A) . exp (B) = exp (A+B+ 1/2[A, B]). Trong trường hợp 1/2[A, B] là một số, ta có exp(A) exp(B) = exp (1/2[A, B]) exp (A+B). Tức là phép nhân lũy thừa không còn tương ứng 1-1 với phép cộng số mũ nữa. Đối với các toán tử nói chung, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf chỉ đúng khi tập hợp các toán tử là kết hợp, tức là [A, [A, B]] = 0 = [B, [A, B]]. Một học sinh giỏi toán có thể đặt ngay câu hỏi nếu các toán tử không thỏa mãn điều kiện kết hợp thì công thức nhân lũy thừa Cambell-Haussdorf sẽ ra sao. Có thể trả lời trước là công thức tổng quát Cambell-Haussdorf-Hubbard là một chuỗi vô tận, có thể dừng lại nếu đưa ra giả thiết nhất định. Như vậy đồng nhất thức này có thể dùng để hiểu việc mở rộng các cấu trúc toán tử, khi có yêu cầu thực tế.
Lấy một ứng dụng cụ thể là toán tử đạo hàm. Đạo hàm chính là toán tử sinh ra phép tịnh tiến F(x) --> F(x+a) nhờ công thức Taylor viết dưới dạng F(x+a) = e^(a^\mu \partial_\mu) F(x). Toán tử e^(a^\mu \partial_\mu) là biểu diễn của phép tịnh tiến. Trên không gian Euclide n-chiều, do các đạo hàm giao hoán nên không có gì lý thú liên quan đến đồng nhất thức Cambell-Haussdorf khi nhân lũy thừa, hay thực hiện hai phép tịnh tiến liên tiếp.
Chúng ta hãy xét các không gian ( nói một cách toán học là đa tạp nhưng dùng không gian cho đỡ tốn bộ nhớ vì khái niệm) Riemann. Khi đó có các toán tử đạo hàm hiệp biến D_\mu = \partial_\mu + i A_\mu(x) với A_\mu(x) gọi là liên thông, chính là các trường vật lý có thể quan sát được. Đạo hàm hiệp biến là toán tử không giao hoán [D_\mu, D_\n] = F_{\mu \nu} đại lượng F_{\mu \nu} chính là cường độ của trường vật lý, ví dụ như điện trường và từ trường xuất hiện là nhờ tính không giao hoán của phép tính tiến. Nói một cách khác, các trường vật lý như điện và từ trường đã phá vỡ tính giao hoán của các phép biến đổi tịnh tiến. Như vậy, tính giao hoán bị tự nhiên phá vỡ trước khi nói đến lượng tử.
Phép tịnh tiến trên không gian Riemann được biểu diễn bằng toán tử e^(a^\mu D_\mu) và ta có e^(a^\mu D_\mu) F(x) = alpha (a, x) F(x+a). Thừa số alpha(a,x) xuất hiện và gọi là 1-cocycle, là một đại lượng đo sự méo đi của không gian, được nghiên cứu trong một nhánh của tô pô là lý thuyết đồng điều. Như thế, các tư tưởng của toán học hiện đại xuất hiện hết sức tự nhiên, mà một học sinh trung học, nếu được dạy đúng cách, có thể hiểu dễ dàng.
Áp dụng liên tiếp hai lần phép tịnh tiến theo vector a1 và a2 chúng ta có exp (a1^\mu D_\mu) exp(a^\nu D_\nu) = \alpha(a1, a2, x, 2) exp((a1+a2)^\mu D_mu). Trong đó \alpha(a1,a2,x, 2) gọi là 2-cocycle. Ở đây chúng ta bắt buộc phải dùng công thức Cambell-Haussdorf để tính \alpha(a1,a2,x,2). Ở đây có rắc rối một chút, nhưng 2-cocycle có thể tính ra được bằng tích phân vòng theo chu vi của tam giác với các đỉnh x, x+a1, x+a1+a2 theo cường độ trường nói ở trên. Áp dụng công thức Gauss-Stokes, tích phân đó không triệt tiêu nếu trong tam giác đó có các đường sức đi qua. Áp dụng trong vật lý, ta sẽ thấy một hiện tượng không bình thường: nếu một hạt mang điện chuyển động trong một không gian, trên đường đi có thể không có tác động nào của trường vật lý, nhưng nó sẽ cảm thấy được cái trường vật lý đó, khi chuyển động theo hai đường đi khác nhau nhờ 2-cycle. Trong vật lý đây gọi là hiệu ứng Bohm-Arahonov phát hiện trong những năm 70 của thế kỷ trước và được công ty Hitachi đầu tư để thực nghiệm.
Quay trở lại việc tiếp tục mở rộng đồng nhất thức Cambell-Haussdorf cho các toán tử không kết hợp, chúng ta có thể áp dụng ba phép tịnh tiến liên tiếp.
exp(a1^\mu D_mu) exp(a2^mu D_\mu) exp (a3^\mu D_\mu) = \alpha(a1,a2, a3, x, 3) exp((a1+a2+a3)^\mu D_mu) với alpha (a1,a2,a3,x,3) là 3-cocycle. Tương tự ta có các cocycle bậc cao hơn và tính được chúng qua các lớp đặc trưng Chern-Pontrijagin, Chern-Simon của các không gian Riemann và chúng có các ý nghĩa vật lý là các nguồn vật chất đặc biệt như đơn cực từ, soliton,... Đó là công trình đầu tiên của tôi viết độc lập tại Việt Nam được đăng trên một tạp chí ISI.
Điều đáng nói là về kỹ thuật công trình này rất đơn giản và tự nhiên, đến mức mọi học sinh trung học đều có thể hiểu nếu được giảng giải kỹ càng. Mặt khác, nó liên hệ rất nhiều ý tưởng từ toán sơ cấp, phương pháp mở rộng từng bước, có nguyên tắc, có quan sát vật lý, đến các khái niệm của toán tôpô khá advanced. Đặc biệt, lý thuyết này còn có thể tiếp tục phát triển để đưa ra các khái niệm mới về lý thuyết biểu diễn các phép biến đổi, do ở đây tính đồng phôi không còn được bảo đảm. Có thể gia công thêm để có một lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng với các cocycle có các ý nghĩa vật lý.
Một biểu diễn nhóm đối xứng thường tương ứng với một đối tượng vật lý như hạt hay trường. Trong một công trình khác tôi đã áp dụng một cách biểu diễn khác với biểu diễn tuyến tính là biểu diễn phi tuyến để thu được một mô hình vật lý phù hợp với thực nghiệm tốt hơn mô hình của Skyrme-Adkin-Nappi-Witten. Có cơ sở để thấy rằng các biểu diễn với các cấu trúc đồng điều như đã thấy từ việc suy rộng công thức nhân lũy thừa sẽ có những hiệu ứng vật lý khác nhau. Và đáng nói hơn, thực tế vật lý dường như không tuân biểu diễn tuyến tính, cũng như không tuân theo luật giao hoán. Các cấu trúc trừu tượng như các đại lượng không giao hoán, không kết hợp hoặc rộng hơn nữa, bắt đầu chỉ là trò chơi của tư duy, ở một môi trường tự nhiên nào đó, sẽ thể hiện trong thực tế. Sự phù hợp giữa tư duy và thực tiễn có lẽ là bí mật cả đời của tôi mà tôi vẫn luôn tò mò với tinh thần xây dựng, mặc dù vẫn còn nhiều nỗi lo toan.
