Khương tuyến và động lực của trí thức

Khương tuyến được phát minh vào thế kỷ 15 bởi một sĩ quan người Hungary tên là Ferenc (Thực ra Ferenc là tên, nhưng có lẽ họ của anh này thất truyền). Lẽ dĩ nhiên Ferenc là tín đồ Thiên chúa giáo. Trước tiên, Ferenc đem phát minh của mình trình với giáo chủ thành Constantinople, đang bị đe doạ bởi quân Thổ đang bành trướng về phương Tây. Anh ta nói có công nghệ có thể giúp đại bác bắn xa và chính xác. Tuy nhiên, khi trình bày ý tưởng khương tuyến làm viên đạn xoay tròn trước một hội đồng bác học (chắc giống các hội đồng khoa học của Việt Nam bây giờ), gồm rất nhiều nhà khoa học đáng kính, đề án đã bị bác thẳng thừng vì tội thiếu cơ sở khoa học.Bực mình, Ferenc, đã mang đề án trình với Sultan của Thổ Nhĩ Kỳ. Mới nghe qua, Sultan đã đồng ý cho thử nghiệm và sản xuất đại trà. Quả nhiên, trong trận đánh Constantinople, đại pháo của Thổ đã bắn vỡ tường thành mà từ trước được coi là tuyệt đối kiên cố, bất khả xâm phạm. Quân Thổ qua đó tràn ngập Constantinople. Thành thất thủ và mở ra một chương mới trong lịch sử loài người.Qua câu chuyện này có thể học được điều gì?+ Động lực của trí thức là muốn thấy trí tuệ của mình được trở thành sự thật. Theo quan điểm của ý thức hệ Thiên chúa giáo, Ferenc có thể là phản đồ. Nhưng nếu không được Sultan dùng đến, Ferenc có thể chết rục cùng với sáng chế của mình, vô danh. Muốn nhà khoa học không thi hành sở học của mình, có khác nào bắt người thợ cạo không được nói ra cái tai lừa của vua Midas+ Muốn quốc gia tiến lên, phải biết dùng cái tài của trí thức, thay vì lo sợ họ dùng cái tài của họ cho đối phương.+ Một hội đồng những người suốt ngày đọc sách, đáng kính, không phải lúc nào cũng có quyết định đúng. Có thể chính tri thức đã ngăn cản các bác học nhìn thấy chân lý, kém cả một ông Sultan không học hành gì.+ Nhìn ra tài năng còn giá trị hơn bản thân tài năng.+ Sự thất bại của ý thức hệ Thiên chúa, tưởng như là thảm hoạ đối với châu Âu, nhưng chính đó là bước khởi đầu đưa châu Âu bứt phá vượt hẳn châu Á. Điều đó nói lên thất bại cũng cần thiết.

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (4)

Sau này công trình này của chúng tôi được Feza Gursey nhắc tới như là mô hình Viet-Tuyen. Điều mà tôi thấy thú vị nhất không phải là độ phù hợp với thực nghiệm của mô hình mà là cơ sở toán học của nó. Tôi vẫn mong ước có thời gian để trở lại với các hướng nghiên cứu này. Làm một người đam mê quá nhiều thứ cũng khó mà giải quyết các vấn đề đến nơi đến chốn. Nhưng điều chính, tôi vẫn cảm thấy tuy đây là hai góc lưới săn hổ, nhưng con hổ cần tìm, có lẽ không ở gần hai góc lưới này.

Khái niệm săn hổ là của Chia Tze, giáo sư đại học Virginia Polytechnique, học trò của Feza Gursey, tác giả của thuật ngữ skyrmion, truyền cho tôi. Chia Tze, có tên Việt là Tạ Gia Hùng, anh có 1/2 gốc Trung Quốc, 1/4 gốc Việt, 1/4 gốc Pháp. Anh sinh ra và lớn lên ở Hà Nội, rời Hà Nội năm 16 tuổi, di cư vào Nam, sang Pháp rồi đi Mỹ, còn nhớ cô gái nữ sinh trường Trưng Vương nào đó rất đẹp. Anh nói có một số người làm vật lý theo lối chăng lưới rộng rồi đi vòng vòng quanh bãi săn để đợi cơ hội bắt con mồi. Việc đánh bắt này rất mất công, và có thể không săn được gì, nhưng niềm sung sướng lớn nhất là cảm xúc đi vòng quanh sân săn hổ. Feza Gursey, Nguyễn Hoàng Phương, Witten, Wigner đều là người săn hổ và tôi là người muốn theo họ.

Nhiều khi tôi cũng tự hỏi xem con hổ đó thực ra là cái gì, và ít ra chúng tôi cũng phải biết một vài đặc điểm con mồi chúng tôi muốn tìm kiếm. Sau này tôi mới vỡ lẽ mỗi người có một hình dung khác nhau về con hổ mà mình đang săn. Đối với tôi, có lẽ đó là một lý thuyết giải quyết bài toán tương tác mạnh, đồng thời dựa trên một cấu trúc không thời gian, với các cấu trúc tô pô đặc biệt, là biểu diễn của các đối xứng nhất định theo một nghĩa suy rộng nào đó là tổng quát hoá của biểu diễn phi tuyến. Vấn đề của vật lý hiện nay có lẽ không phải việc thống nhất vật lý lượng tử với lý thuyết hấp dẫn của Einstein, các tích phân phân kỳ hay các lý thuyết thống nhất các tương tác. Tôi chẳng thấy băn khoăn gì nếu các vấn đề đó không được giải quyết, vì tôi cho đó là vấn đề của tư duy con người hơn là vấn đề của vật lý, của thế giới khách quan. Điểm yếu nhất của vật lý là lý thuyết ở các năng lượng khác nhau là các lý thuyết hoàn toàn riêng biệt, không có một sự chuyển pha thực sự "trơn tru" giữa lý thuyết này và lý thuyết kia. Vấn đề này có tính phổ quát, ví dụ người ta đã biết lý thuyết cho tương tác mạnh ở năng lượng rất cao chính là QCD tương tác khá yếu với nhau. Khi năng lượng giảm xuống, sẽ có hiện tượng vi phạm đối xứng tự phát và chuyển pha sang các quark-phản quark sẽ ngưng tụ thành các meson và baryon. Hiện nay chưa có cách gì "suy ra" lý thuyết cho meson và baryon từ lý thuyết QCD. Mặc dù cũng có một số hình thức luận trường hiệu dụng có thể suy ra một số số hạng đầu tiên, nhưng các lý thuyết này vẫn chỉ là các số hạng đầu tiên của một chuỗi vô tận. Cũng tương tự, trong vật lý chất rắn vẫn khó mà khó thể theo dõi một lý thuyết từ pha này chuyển qua pha khác.

Thời gian 4 năm ở Hungary trôi qua khá nhanh, do bận công tác giảng dạy, mưu sinh và chuẩn bị cho các cuộc phiêu lưu về phương Tây. Nếu ở lại Hungary có lẽ tôi đã có một vị trí giáo sư khá chắc chắn và một tài sản vật chất không tồi, nhưng tôi cần tiếp tục cuộc hành trình định mệnh của mình.

Trong thời gian này tôi bắt đầu làm quen với hình học không giao hoán của Alain Connes. Lần đầu tiên tôi đọc công trình của Alain Connes về hình học không giao hoán với đại số Z_2, tôi không thực sự rung động với kết quả về lý thuyết Salam-Weinberg và trường Higgs được xây dựng thuần tuý bằng hình học không giao hoán. Cái mà tôi để ý chẳng qua là phương pháp xây dựng hình học mới dựa trên một đại số nào đó có liên quan tới đối xứng mà người ta quan sát được. Tôi thực sự đến với hình học không giao hoán là nhóm của Kameshwar Wali và Feza Gursey có một hình thức luận cho mô hình Salam-Weiberg khác dựa trên đại số quaternion thay cho Z_2. Họ giao cho tôi việc siêu đối xứng hoá mô hình này, để chuẩn bị cho việc tôi đến làm việc tại Syracuse. Sau đó, tôi cũng đã có được một công trình ký tên chung với Feza Gursey lừng danh. Tôi không bao giờ được gặp mặt Feza vì ông mất không lâu sau khi công trình của chúng tôi được in và trước khi tôi đến Mỹ.

Sau khi tính toán lại một công trình của Wali và Gursey về lỗ đen, tôi đưa ra một nghiệm hoàn toàn khác mà trước đó nhóm này không thể tìm ra. Tôi đã đưa ra một phân tích toàn cục trước khi giải, do đó đã tìm ra một nghiệm gần điểm kỳ dị. Thắng lợi này cho phép tôi lấy được một chút tự tin, là với kiến thức toán học chuẩn bị thời ở Việt Nam, tôi đã giải được một bài toán mà các nhà vật lý lớn, có tiếng không giải được.

Với hành trang đó và trong thời gian Kamesh Wali nghỉ sabatical, tôi hoàn toàn tự do để vào một chiến dịch săn hổ thực sự: xây dựng hình học không giao hoán cho lý thuyết hấp dẫn của Einstein. Tôi bắt tay vào đọc công trình đầu tiên về đề tài này của Frohlich và Chamseddine. Tiếc thay công trình này là một định lý no-go: hình học Riemann không giao hoán không mang lại vật lý gì mới ngoài trường hấp dẫn của Einstein. Điều đó có nghĩa là chuyển từ hình học Riemann bình thường sang hình học không giao hoán Z_2 không mang lại nội dung vật lý gì mới. Lần đọc đầu tiên, tôi thấy chứng minh của Frohlich và Chamseddine hoàn toàn chặt chẽ, dễ hiểu. Tuy nhiên, có một điều gì đó, có thể là trực quan vật lý hoặc nhạy cảm toán học, nói với tôi rằng kết quả này không đúng. Tôi đọc lại thêm một lần nữa và cẩn thận tham khảo từng bước với các cuốn sách về lý thuyết hấp dẫn Einstein và tôi đã phát hiện ra Frohlich và Chamseddine đã phạm sai lầm khi phát biểu nguyên lý tương đương, và sử dụng sai công thức cho các hệ quy chiếu khác nhau. Sau khi điều chỉnh lại điều này, tôi thấy metrics của hình học giao hoán sẽ gồm metric của không gian 4 chiều thông thường, metric của không gian trong Z_2 là một hàm vô hướng và metric giữa không gian trong và không gian ngoài là một trường vector. Tôi đã tính đi tính lại độ cong của lý thuyết này tới 10 lần, do kết quả tôi nhận được chính là Lagrangian của lý thuyết Kaluza-Klein, lý thuyết hấp dẫn trong không gian 5 chiều. Lý thuyết này tôi đã nghiên cứu từ trước, là lý thuyết thống nhất tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ, bên cạnh đó hạt vô hướng là hạt Brans-Dicke. Cảm giác hồi hộp, vừa không tin ở kết quả lại đẹp đẽ như vậy, không tin mình lại vượt qua được Frohlich, người được tôn vinh là nhà vật lý toán lớn nhất đương thời, mà phải tính đi tính lại nhiều lần cho  chắc chắn. Tôi phải mất hơn nửa năm để tự thuyết phục mình là kết quả không còn sai sót. Thời gian đó A.Balachandra, một giáo sư rất nổi tiếng, ghé qua phòng tôi, nhìn đống giấy nháp và các công thức dài dằng dặc, thương hại nói với tôi "Tôi chưa thấy ai có tính toán đồ sộ như anh. Anh qua nhóm tôi. Chúng tôi có nhiều kết quả hay. Nhưng tính toán rất ít". Tôi bắt đầu tham gia thảo luận với nhóm của Balachandra, nhưng vẫn tiếp tục tính toán. Khi có kết quả cuối cùng, tôi nói với Landi, một tiến sĩ Toán trong nhóm của Balachandra "Tôi có một kết quả rất hay. Hình học không giao hoán của Connes áp dụng cho hấp dẫn có kết quả giống hệt lý thuyết Kaluza-Klein, thống nhất được với trường điện tử. Tôi muốn mời anh tham gia. Trước hết anh kiểm tra hộ tôi xem có sai sót gì về Toán học và tính toán." Rất nhanh, Landi đã kiểm tra lại các tính toán của tôi và khẳng định rằng kết quả hoàn toàn đúng. Anh ta thích thú đến nỗi đi khoe khắp nơi về công trình này. Balachandra, mời tôi thuyết trình cho nhóm của ông về hình học không giao hoán, vì khi đó nhóm của ông cũng bắt đầu cần tới công cụ toán học này. Dưới ánh sáng của kết quả vừa nhận được, tôi đưa ra một cách tiệm cận hết sức mới mẻ về hình học không giao hoán mà sau này các nghiên cứu sinh của Balachandra nói rằng, chúng tôi đọc hàng năm trời mà không hiểu tư tưởng chính, thấy phức tạp và rối rắm. Anh đã nói trong một tiếng đồng hồ, chúng tôi đã hiểu ra vấn đề. Tôi cho rằng lý thuyết của Connes chính là discrete hoá lý thuyết Kaluza-Klein. Thay vì một vòng tròn, chiều thứ 5 được discrete hoá thành 2 điểm và trang bị một đại số Z_2. Về nguyên tắc người ta có thể thay thành 4 điểm và trang bị đại số quaternion,... Khai triển điều hoà theo chiều thứ năm discrete sẽ ra các nội dung vật lý mới, không có gì lạ. Tôi gửi đăng công trình trên Phys.Letters B, công trình do Chamseddine phản biện, nên cũng rắc rối, vì anh ta khăng khăng về định lý no-go là vì tôn trọng Frohlich, tôi không thể chỉ ra điểm sai của họ. Cũng may vì có Wali đồng tác giả, chúng tôi thành công trong việc thuyết phục Chamsedine, là chúng tôi có một cấu trúc toán học hoàn toàn khác nên mới có kết quả như vậy.

Sau công trình này và bài giảng cho nhóm Balachandra, tôi nhận thấy lý thuyết của tôi còn có thể tổng quát hoá được tiếp tục. Do metrics trong không gian 4 chiều, các trường vector và vô hướng trong lý thuyết còn có thể là các hàm của không thời gian 4 chiều và chiều discrete Z_2. Nếu khai triển theo chiều Z_2 các hàm này chúng ta sẽ có các cặp metrics 4 chiều, cặp vector, cặp vô hướng. Trong mỗi cặp một trường sẽ có khối lượng một trường sẽ không có khối lượng. Tôi và Wali đã viết một loạt bài về vấn đề này trong vài năm sau đó.

Tôi cũng xây dựng lại hình thức luận của Connes cho lý thuyết Salam-Weinberg-Glashow và đã đưa ra tiên đoán khối lượng top quark sau khi nhóm thực nghiệm ở CERN công bố họ tìm ra hạt này đúng 1 tuần, mức chênh lệch là khoảng 1.5%, trong sai số cho phép. Tại hội nghị 4 trường đại học Bắc Mỹ, rất nhiều người quan tâm tới kết quả kỳ lạ này. Sau đó tôi cũng tính được khối lượng Higgs vào cỡ 254 GeV. Điều thú vị nhất là các tính toán các đại lượng thực nghiệm lại đến từ một lý thuyết toán học hết sức trừu tượng.

Để chứng minh lý thuyết của mình có tính phổ quát khắp mọi nơi, tôi có ý tưởng xem xét các hệ 2 chiều, cho hiều ứng Hall lượng tử. Ứng dụng phương pháp của hình học không giao hoán, tôi đã dựng lại lý thuyết của Anthony Zee. Tôi đã nhờ Varghese John, một post-doc, chuyên nghiên cứu vật lý chất rắn đọc lại. Anh ta đã giải thích cho tôi nghe về vật lý của hệ hai chiều, trong đó có rất nhiều tư tưởng có thể áp dụng cho vật lý năng lượng cao.

Tôi phải chia tay vật lý khi đã nắm trong tay một lý thuyết thống nhất tất cả các tương tác, trên cơ sở hình học Riemann không giao hoán. Chắc chắn lý thuyết này có nhiều điều rất thú vị. Thậm chí mô hình thế giới với một cặp metric có khối lượng và không có khối lượng chắc chắn có nhiều hiệu ứng thú vị có thể khai thác. Tôi chia tay vật lý vào những năm cuối của thế kỷ trước để bắt đầu một cuộc săn khác, với say mê nhiệt tình như buổi ban đầu. Dù các chân trời mới có hấp dẫn thế nào đi nữa, tôi tin một ngày kia tôi sẽ trở lại với bãi săn cũ, cho dù biết không có con hổ nào như tưởng tượng ban đầu của mình.

 Cuộc cách mạng tư tưởng của thế kỷ 20 đã không diễn ra. Cuộc gặp gỡ của Toán học và Vật lý vào cuối thế kỷ đã không mang lại cuộc cách mạng trong vật lý, toán học và khoa học nói chung. Cuộc đi săn hổ của thế hệ chúng tôi đã kết thúc tay trắng. Trước mặt chúng tôi là một sa mạc mênh mông, sẽ không có gì thực sự mới lạ cho đến tận mức năng lượng Plank. Trong cuộc đi săn hổ này, có lẽ Witten có trách nhiệm một phần. Chính ông là người giăng lưới lớn nhất. Có lẽ, chúng tôi cần phải nghe Wolfram nhiều hơn, người khẳng định đã đến lúc phải làm New Kind of Science. Tuy vậy, tôi sẽ không bao giờ hối tiếc vì đã giành hơn 30 năm cho một cuộc săn hổ đầy cảm xúc với những con người tuyệt vời, được tiếp xúc với những ý tưởng đỉnh cao của nhân loại. Tôi được lợi gì? Có lẽ nên nhắc lại lời thầy của tôi, Lovas Istvan "Bớt ngu ngốc dốt nát, tại sao lại không có lợi." (hết)

Đừng vội tin các nhà công nghệ

Không cứ ở Việt Nam, đừng vội tin các nhà công nghệ nói về các công nghệ của mình. Thái độ tốt nhất là chăm chú nghe họ, để xem có thể sử dụng được gì mà họ mời chào. Những điều họ nhiệt tình muốn thuyết phục chúng ta thường không phải là cái chúng ta cần. Trong đại đa số các trường hợp, công nghệ không hoạt động theo các khẩu hiệu mà các nhà công nghệ trương lên khi phát triển chúng.

Nói như thế không có nghĩa là các nhà công nghệ làm ra những cái không có giá trị. Ngược lại là khác, họ tạo ra vô số điều đáng kinh ngạc, và đang thay đổi cuộc sống, cách nghĩ của chúng ta. Có điều, có một khoảng cách từ yêu cầu thực tế tới nhận thức của nhà công nghệ, và một khoảng cách từ sản phẩm hiện tại của họ tới mong muốn của họ. Có lẽ chính vì thế mà công nghệ vẫn không ngừng tiến lên khi khoa học vẫn còn bì bẹt.

Đừng có tin khi họ nói công nghệ XYZ nào đang là thời thượng trên thế giới, rất tiên tiến, bạn phải đầu tư ngay kẻo muộn. Nếu bạn tin và đầu tư vào điều đó, đến khi mọi điều kiện đã sẵn sàng, họ có thể sẽ nói về một công nghệ VWU nào đó khác, bỏ mặc bạn với đống thiết bị chưa hề có ứng dụng hay sản phẩm nào. Đơn giản là không có sản phẩm nào chỉ liên quan tới một công nghệ, cho dù nó có tiên tiến cỡ nào. Mọi sản phẩm đều phải tích hợp nhiều công nghệ và phải dựa trên một ý tưởng về nghiệp vụ, thị trường hoặc nội dung sáng tác mà nhà công nghệ thường không thể giúp bạn. Cũng còn là may nếu anh ta còn chưa ngộ nhận về điều đó. Thứ hai, mọi công nghệ đều cần thời gian để chín muồi. Các nhà công nghệ thường thúc dục bạn phải đầu tư sớm để có lợi thế. Đừng tin ở điều đó, người ta thường nói "leading is bleeding" (đi đầu thường phải đổ máu). Trong cuộc đời của một sản phẩm, đầu tư hiệu quả nhất là vào khi nói chín muồi. Phân bố chuẩn bao giờ cũng có phần lớn diện tích tập trung trong một khoảng nhất định.

Thất vọng lớn nhất của tôi với các nhà công nghệ là họ thường rao giảng Java là độc lập với nền tảng, viết ứng dụng Java một lần để chạy mọi nơi mọi chỗ. Thực ra thì các ứng dụng của Java đều viết một lần và sửa lỗi ở mọi chỗ. Khả năng viết ứng dụng C/C++ để build thành công trên các nền tảng khác nhau còn cao hơn khả năng làm cho ứng dụng Java chạy trên các nền tảng khác nhau rất nhiều.

Chỉ là chuyện nhân lũy thừa

Viết lại post này vì muốn chọc ngoáy các thầy Toán Lý mà lại viết như để riêng cho các thầy thì lấy đâu ra người đọc.

  CHỈ LÀ CHUYỆN NHÂN LŨY THỪA

 Nhân lũy thừa, chỉ đơn giản là a^x a^y = a^(x+y), với các số thực x, y, học sinh phổ thông nào cũng biết. Nhưng để chứng minh nó, chắc các học sinh giỏi cũng ngắc ngứ. Có lẽ đó là phần xấu xí nhất trong chương trình toán phổ thông. Nhưng có lẽ nhờ thế, tôi có được một số trong những bài báo thú vị nhất của mình.

 Trước tiên, có lẽ phải cảm ơn thầy giáo dạy toán của tôi là thầy Đặng Quan Viễn, là người đã cố gắng chứng minh công thức đó cho chúng tôi bằng gần hết thời lượng của một học kỳ dạy đại số. Tất nhiên, chứng minh của thầy hoàn toàn thất bại trong khuôn khổ kiến thức của chương trình trung học thời bấy giờ. Nhưng việc thấy được điểm khập khiễng này cũng đã là một điều vĩ đại vào lúc bấy giờ, và làm tôi kính phục thầy hơn rất nhiều nhà chuyên nghiên cứu Toán đương đại.

 Có lẽ ít ai để ý tới công thức nhân lũy thừa nói trên, bởi vì công thức là hiển nhiên với các số mũ nguyên, thậm chí với các số mũ hữu tỷ. Nhưng chứng minh, dựa trên định nghĩa về lũy thừa với một số mũ thực là giới hạn của các lũy thừa với số mũ hữu tỷ, khi giới hạn chỉ mới được giới thiệu qua một số chuỗi hội tụ, có lẽ là một việc bất khả thi. Trong wikipedia, cũng chỉ buông một câu rất "phản toán" là "vì các số vô tỷ là giới hạn của các số hữu tỷ" nên lũy thừa với số mũ thực là giới hạn của lũy thừa của số mũ hữu tỷ. Nếu học sinh cũng áp dụng lý luận lười biếng đó đó cho số mũ phức thì sẽ có những rắc rối.

Có những người may mắn sẽ thoát nạn, có những người đã phải trả giá bằng cả một sự nghiệp khoa cử. Tôi biết có một học sinh giỏi, rất sáng giá và có chí lớn, sau khi bị đánh trượt môn đại số chỉ vì không làm được khai căn bậc n của 1 trên trường số phức, nản chí học hành và trở thành một học sinh làng nhàng, có lẽ chỉ bị ảnh hưởng quá nặng bởi những lý luận qua loa như trên. Tai nạn đó rõ ràng mang tính ngẫu nhiên, bởi nếu hôm đó mụ thần may mắn không bắt anh gắp trúng đề thi đó, hôm nay biết đâu đã có bao nhiêu thế hệ học sinh được nghe một thêm một giáo sư khả kính rao giảng những kiến thức cao siêu.

 Cũng may, học sinh bị giáo trình lấp liếm, chứ nếu đặt câu hỏi "tại sao giới hạn đó lại tồn tại", "có chắc là luôn luôn tồn tại không",... các thầy khéo mà đau đầu. Cũng may, chương trình của ta chỉ chú trọng thợ làm toán, không chú ý đến người suy nghĩ, đặc biệt là đa số sẽ làm ở ngành khác, không mang huy chương về cho nước nhà, ít suy nghĩ một chút cũng tốt. Chắc chắn để trả lời các câu hỏi đó cho thỏa đáng các thầy sẽ phải nói về mở rộng số nguyên sang số hữu tỷ, tính trù mật khắp nơi của các số hữu tỷ, tính sắp được của trường số thực, tính liên tục của hàm lũy thừa.

Quá nhức đầu, thách đố chẳng khác gì trả lời câu hỏi cho học sinh tiểu học "em bé sinh từ đâu ra". Tôi cho rằng, đối với cả hai vấn đề toán và sinh vật trên, đều phải theo nguyên tắc, không dạy thì thôi, dạy là phải đầy đủ. Không dạy những thứ nhảm nhí như em bé đẻ ra từ nách. Như vậy, công thức trên có thể dạy dưới dạng quy tắc ở các lớp dưới, không cần dạy sau phần giới hạn chuỗi. Hoặc nếu đã dạy thì cần dạy đến nơi đến chốn việc mở rộng số, khái niệm giới hạn, liên tục,... trên ví dụ là hàm lũy thừa.

 Hàm lũy thừa có thể mở rộng với các số mũ là các ma trận hoặc các toán tử. Vật lý cổ điển chuyển sang vật lý lượng tử có thể hiểu một cách đơn giản là thay thế các số bằng các ma trận hoặc toán tử để mô tả các đại lượng vật lý. Chẳng hạn với hàm lũy thừa với cơ số e, với các số mũ là các ma trận thì công thức nhân lũy thừa exp(A) exp(B) = exp(A+B), chỉ đúng khi các ma trận A, B giao hoán AB= BA. Công thức đúng trong trường hợp tổng quát hơn, khi A và B không chắc là giao hoán, là đồng nhất thức Cambell-Haussdorf exp(A) exp(B) = exp(A+B+ 1/2[A,B]) trong đó [A, B] = AB-BA. Và thực ra, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf cũng chỉ đúng nếu [A,[A, B]] = 0 = [B,[A, B]] hoặc hạn chế áp dụng trên một tập hợp các ma trận có tính kết hợp, như quaternion. Với các số không kết hợp như octonion (số Calley), công thức Cambell-Haussdorf cần tiếp tục bổ sung thêm các phần tử mới, và biểu thức ở vế phải của đồng nhất thức Cambell-Haussdorf có thể kéo dài vô tận. Và các cấu trúc mới sau tính kết hợp có thể sẽ được hiểu mỗi khi ta muốn chấm dứt vế phải của đồng nhất thức này ở một bậc nào đó của các ma trận A, B. Nói một cách khác, công thức nhân lũy thừa chỉ là xấp xỉ tuyến tính của đồng nhất thức Cambell-Haussdorf suy rộng.

 Nhân đây cũng cần nói thêm về các nguyên tắc của việc tổng quát hóa. Tổng quát hóa là một phương pháp luận, không phải chỉ có ý nghĩa với các nhà toán học. Trong cuộc sống thường ngày, tổng quát hóa cho phép áp dụng các kiến thức đã biết để giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực mới lạ. Nhưng cần phải có thao tác nhất định chứ không thể luôn luôn "ăn may" như trong công thức nhân lũy thừa của số mũ thực.

Tổng quát hóa, theo lối máy móc, có thể có sự góp phần của các thày dạy Toán đặc biệt ở việc nhân chuỗi lũy thừa, đang trở thành phương pháp luận phổ biến như chụp mũ, chủ nghĩa lý lịch, nâng quan điểm để những tên hoạt đầu chính trị trục lợi. Chúng ta đã quá dị ứng với những lý luận "anh nói thế chứng tỏ là anh...", "gia đình anh như thế chứng tỏ anh cũng như vậy...", "anh làm việc nọ chứng tỏ quan điểm anh thế kia".... Suy nghĩ cho cùng về mặt logic, những lý luận đó cũng chẳng kém việc dùng công thức nhân lũy thừa cho số mũ nguyên.

 Có một nguyên tắc khác của tổng quát hóa là phải có một motivation. Có nhiều rất nhiều thầy tiêu phí cả đời vào việc tổng quát hóa vô bổ. Các thầy rất sẵn ý tưởng, luôn luôn đủ cung cấp cho hàng trăm học sinh, tổng quát hóa ABC sang XYZ. Nghe thì rất rắc rối, cao siêu nhưng chung qui rất kém sáng kiến, không hơn gì "trong giáo trình đã dạy nhân hai số có 2 chữ số, học trò tôi đã tổng quát hóa nhân hai số có n<5, đề nghị anh tổng quát hóa cho n<7, n >6 là vấn đề hết sức vĩ đại to lớn mà nhân loại sẽ còn phải giải quyết".

Tôi nhận thức được, loại tổng quát hóa vô nguyên tắc sẽ đi đến những tri thức hiển nhiên qua định luật Hook. Định luật Hook phát biểu là độ giãn dx của một thanh vật chất đàn hồi tỷ lệ tuyến tính với lực kéo, khi lực kéo bé. Định luật Hook thứ hai cho thấy sự phụ thuộc bậc 2. Nếu tổng quát hóa đến cùng chẳng qua chỉ là khai triển Taylor của một hàm giải tích, và chẳng dùng được gì trong thực tế. 

Khi có motivation, tổng quát hóa sẽ phải theo từng bước, để kiểm chứng lại motivation, đừng để bị lệch hướng vào các tổng quát hóa vô bổ hoặc để sự lười biếng của trí tuệ lẻn vào, như việc nhân lũy thừa số thực. Nếu suy nghĩ đúng hướng, một vấn đề như nhân lũy thừa có thể kết nối với những vấn đề rất thú vị của toán học hiện đại. Một nhà toán học có những công trình xuất sắc không phải suốt ngày nghĩ đến các chuyện quái gở, suy nghĩ kiểu quái vật, thao tác bất thường, dùng các công cụ quái khủng. Họ cũng suy nghĩ bắt đầu từ những ý tưởng bình dị, như bất cứ một vấn đề ứng dụng thực tế nào, chỉ có điều họ đi rất sâu, phân tích rất kỹ và có những motivation xuất sắc để khỏi trệch hướng.

Tôi muốn kể một kinh nghiệm cụ thể cũng chỉ liên quan đến việc nhân lũy thừa để minh họa điều đó. Các phép biến đổi liên tục thường được biểu diễn bằng các biểu diễn hàm mũ với cơ số e. Chẳng hạn phép tịnh tiến trong không gian Eulide n chiều với vector a có thể viết f(x) --> f(x+a) = T(a) f(x) = exp (i a d/dx) f(x). Thực ra chỉ là một khai triển Taylor và dùng mở rộng công thức chuỗi của hàm mũ cho toán tử đạo hàm d/dx. Biểu diễn phép tịnh tiến như vậy đảm bảo tính đồng phôi T(a1+a2) = T(a1) T(a2), do công thức nhân lũy thừa là đúng khi mở rộng cho toán tử đạo hàm. Lý do như chúng ta đã thấy từ đồng nhất thức Cambell-Haussdorf, là các đạo hàm là giao hoán với nhau. Khi chuyển sang các không gian cong Riemann, các đạo hàm được thay bằng các đạo hàm hiệp biến D= d/dx+A(x) nhờ một đại lượng A(x), mà các nhà toán học gọi là liên thông, các nhà vật lý gọi là thế. Các đạo hàm hiệp biến buộc phép tịnh tiến bám chặt trên mặt đa tạp, chứ không đi thẳng ra ngoài. Các đạo hàm này không giao hoán. Do đó, phép biểu diễn tịnh tiến T(a) = exp(i a D) sẽ không còn cấu trúc đồng phôi như đã nói. Sử dụng đồng nhất thức Cambell-Haussdorf, ta sẽ có T(a1) T(a2) = alpha(a1, a2, x, 2) T(a1+a2). Đại lượng alpha (a1,a2,x,2), gọi là 2-cocycle là một khái niệm về đồng điều trong tôpô. Tương tự T(a1)T(a2)... T(an) = alpha (a1,a2,..., an, x, n) T(a1+a2...+a3) là các n-cocycle.

Các cocycle được chứng tỏ trong một công trình của tôi viết năm 1987 là các tích phân vòng quanh đa diện có các đỉnh là x,a1,a2,..,an và có ý nghĩa toán học là các đặc trưng tô pô, và ý nghĩa vật lý là các đại lượng vật lý đo được. Chẳng hạn 2-cocycle liên quan đến một hiệu ứng thực nghiệm rất nổi tiếng là hiệu ứng Bohm-Arahonov, được công ty Hitachi đầu tư nhiều để quan sát thực nghiệm. 3 và 4-cocycle, liên quan đến các lớp đặc trưng Chern-Simons, Chern-Pontrijagin,... có thể quan sát thông qua các đối tượng vật lý như đơn cực từ, soliton, lỗ đen,...

 Nói một cách khác, trong thực tế, có nhiều hoàn cảnh, biểu diễn tuyến tính không còn sử dụng được. Do tương tác vật lý, các cấu trúc toán học bị "biến dạng", tương tự công thức nhân lũy thừa bị biến dạng thành đồng nhất thức Cambell-Haussdorf theo nhiều bậc. Biến dạng hình học có thể đo bằng các cocycle, và sự tồn tại của cocycle ở các bậc, một cách bí ẩn nào đó lại liên quan đến các tính chất đại số như giao hoán, kết hợp,... Từ đó chúng ta có thể nghĩ tới các khái niệm toán học của biểu diễn biến dạng, từng bước một được phân loại bằng cocycle, và mỗi bước đánh dấu bằng sự tồn tại của các đối tượng vật lý có thể quan sát được.

 Biểu diễn tuyến tính không phải là công cụ toán học duy nhất để các nhà vật lý nghiên cứu các nhóm biến đổi liên tục. Từ những năm 60-70 của thế kỷ trước, các nhà vật lý đã sử dụng khái niệm biểu diễn phi tuyến cho một nhóm đối xứng Lie bất kỳ trong vật lý. Biểu diễn này có thể mô tả các hệ thống vật lý bị vi phạm tự phát. Tôi đã sử dụng biểu diễn này để xây dựng thành công một mô hình cải tiến cho hạt nucleon vào năm 1989. Mô hình này cho kết quả phù hợp với thực nghiệm tốt hơn các kết quả do nhóm của Giáo sư Edward Witten tại Princeton, trên cơ sở của mô hình cũ.

Từ một công thức nhân lũy thừa đơn giản, mà một học sinh trung học cũng có thể hiểu dễ dàng, nếu phân tích thật kỹ vẫn có thể thấy cả một thế giới với các tri thức toán học, vật lý tiên tiến nhất. Đặc biệt, các cấu trúc toán học khác nhau được sắp xếp một cách có trật tự, và bằng một cách huyền bí nào đó, các sản phẩm của trò chơi tư duy, đều lần lượt xuất hiện trong tự nhiên dưới một dạng nào đó. Khi thực nghiệm tìm ra hạt W, hình như Salam có nói một câu gì đó tương tự như "không thể tin được đó là sự thực". Cho đến nay thì các cấu trúc toán học điên rồ, nhất cũng đều lần lượt xuất hiện trong tự nhiên. Vì sao có sự phù hợp như vậy giữa tổ chức vật chất trong vũ trụ với những ảo ảnh sinh ra nhờ các phản ứng sinh hóa trong não bộ của một động vật cao cấp. Đó vẫn là bí ẩn lớn nhất của cuộc đời tôi mặc dù vẫn còn nhiều điều phải lo toan.

Nhân lũy thừa, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf và mở rộng các khái niệm

NHÂN LŨY THỪA VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC CAMBELL-HAUSSDORF

Trong chương trình toán sơ cấp, có một miếng vá víu xấu xí, trình bày rất vụng về mặt logic mà ít ai để ý là công thức nhân lũy thừa của các số thực đơn giản a^x a^y = a^(x+y). Công thức này được hầu hết các học sinh thừa nhận hiển nhiên từ công thức nhân lũy thừa cho số nguyên a^n a^m = a^(m+n).

Tôi nhớ đã từng thắc mắc vì thấy không thể nào chứng minh được công thức nhân lũy thừa cho số thực từ định nghĩa ban đầu của nó. Thầy dạy toán của tôi thời đó là thầy Đặng Quan Viễn có lẽ là một nhà nghiên cứu giỏi hơn là một nhà sư phạm đã dành gần hết thời gian một học kỳ cho môn Đại số để chứng minh công thức này. Tôi còn nhớ nhiều khi thầy đứng cả nửa tiếng trước bảng một mình, mặc cho lũ học sinh cá biệt chúng tôi phá quấy, chuyện riêng, đánh cờ ca rô búng tay, vẩy mực vào áo nhau, ném giấy về phía bọn con gái. Bọn học sinh ngoan thì bối rối vì mách thầy là vô hiệu. Có lẽ chỉ có mình tôi vừa tham gia quậy phá tích cực vừa để ý tới thầy. Nhận thức được khó khăn này trong giáo trình, có lẽ là điểm tôi học được, luôn kính trọng và biết ơn thầy trong suốt quãng đời làm khoa học của mình. 

Về định nghĩa của lũy thừa của một số thực a, trước hết được định nghĩa lũy thừa số nguyên dương n là tích n lần của a: a^n = a.a....a (n lần). Khi đó công thức nhân lũy thừa là hiển nhiên.  Sau đó, người ta mở rộng lũy thừa cho số nguyên âm -n là nghịch đảo của a^n   a^(-n) = 1/a^n. Rồi tiếp tục mở rộng lũy thừa với số mũ hữu tỷ n/m  là a^(m/n) căn bậc n của a^m.

Việc mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực dạy rất sơ sài, gần như cho qua chuyện, do đó học sinh hoàn toàn không thấy lý thú một chút nào. Đặc biệt, công thức Moivre, gần như là nhồi sọ, vì không hề có bất cứ định nghĩa nào về lũy thừa với số mũ phức. Tuy nhiên, có lẽ cần dành thời lượng nhiều hơn và một cách dạy lý thú, động não hơn về phần này. Đây là một cơ hội để học sinh tiếp cận với việc mở rộng khái niệm toán học, có lẽ thao tác này sẽ là cơ bản đối với các nhà toán học tương lai, và nếu dạy khéo, sẽ là một kỹ năng cao cấp đối với những người không làm toán.

Trong giáo trình toán phổ thông cũ, thậm chí trên Wikipedia phần tiếng Việt, lũy thừa với số mũ được định nghĩa là giới hạn của lũy thừa số hữu tỷ "vì số thực là giới hạn của số hữu tỷ". Như vậy  a^x = lim a^b khi b --> x.  Phải nhận ra là mệnh đề "vì..." nói trên hoàn toàn vô nghĩa, trước hết mệnh đề đó không đảm bảo giới hạn là tồn tại. Do đó, nếu có học sinh giỏi toán nào để ý học phần này, thì hoàn toàn chỉ làm hại thần kinh của mình và thấy kiến thức sách giáo khoa không còn gì là thiêng liêng. Để hiểu sâu sắc được phần này, chắc chắn phải động đến các khái niệm cơ bản của toán giải tích như lát cắt, tính trù mật của trường số thực,....  Do đó cũng thật khó khăn để có thể giải thích kỹ càng phần này. Tuy vậy, theo quan điểm của tôi, đã dạy thì phải có nguyên tắc, không thì thôi, không dạy nửa vời phản logic. Phần giới hạn đã cho học sinh hiểu là giới hạn không chắc đã tồn tại, thì phần này không thể dạy như vậy. Để khắc phục, có một cách là khái niệm lũy thừa của số vô tỷ ra chỗ khác để đừng liên quan đến giới hạn, chẳng hạn có thể đưa vào chương trình sớm hơn, dưới dạng các quy tắc. Tương tự như việc nhân hai số thập phân hoặc hai số vô tỷ, chẳng ai căn vặn gì nhiều vì quy tắc là quy tắc, chỉ việc học và áp dụng. Chính quy tắc thể hiện định nghĩa dưới hình thức thực nghiệm (empirical).

Ở chương trình lớp trên hoàn toàn đủ thời gian và cần thiết để dạy một số khái niệm của toán giải tích, có thể bằng một ngôn ngữ sơ cấp trực quan và sống động, yêu cầu động não, tránh nhồi nhét về tính hội tụ và phân kỳ, tính chất trù mật, sắp được của số thực, khái niệm liên tục. Chẳng hạn, có thể dạy về việc mở rộng khái niệm số, nhấn mạnh phương pháp luận, nguyên tắc của việc mở rộng và giải thích yêu cầu thực tế cũng như ích lợi của việc mở rộng. Một hệ quả của việc không rèn luyện cẩn thận về phương pháp luận và nguyên tắc của việc mở rộng là việc Việt Nam nhan nhản những nhà khoa học mở rộng, tổng quát hóa vô nguyên tắc, chẳng biết mình đang làm gì. Từ tổng quát hóa vô nguyên tắc của nhà khoa học, tới việc chụp mũ, ngụy biện lươn lẹo, nâng quan điểm của các những người có chút quyền lực hay của toàn xã hội cũng chỉ cần thêm vào chút bả lợi ích và phát lộ bản năng chà đạp lẫn nhau. Biết đâu việc dạy toán cũng có phần trách nhiệm với xã hội hôm nay.

Việc mở rộng số thực sang số phức ở trường phổ thông hoàn toàn mang tính quy ước dưa trên ký hiệu i là căn bậc 2 của -1, mà không có một cơ sở phương pháp nào cho phép cộng nhân ký hiệu đó với số thực. Trong khi đó, chỉ cần có một khung phương pháp tốt về mở rộng, việc dạy số phức và công thức Moivre hoàn toàn không khó và đáng ra có thể mang lại lợi ích suốt đời cho học sinh phổ thông.

Đối với cá nhân tôi, công thức nhân lũy thừa vẫn còn ám ảnh đến bây giờ và suy nghĩ về nó vẫn còn có ích. Trong toán học không có gì là hiển nhiên bất biến cả. Nếu học toán để rồi nghĩ rằng các tín điều hiển nhiên trong xã hội là bất khả xâm phạm, thì có lẽ xã hội đã sai lầm đầu tư cho bạn đi học và làm toán.  

Việc mở rộng công thức nhân lũy thừa có thể tiếp tục với các đối tượng rộng hơn số phức, chẳng hạn là với số mũ là các ma trận, toán tử hoặc các số siêu phức như quaternion, octonion (số Calley) hoặc các số Grassmann, Clifford. Trong Vật lý, việc sử dụng các đại lượng lấy giá trị mở rộng như vậy có từ thời phát minh ra cơ lượng tử, khi người ta hiểu rằng muốn mô tả các đại lượng thăng giáng ngẫu nhiên phải nhờ đến các ma trận hoặc các toán tử có thể không giao hoán như các số.

Công thức nhân lũy thừa đối với ma trận thường gọi là đồng nhất thức Cambell-Haussdorf. exp(A) . exp (B) = exp (A+B+ 1/2[A, B]).  Trong trường hợp 1/2[A, B] là một số, ta có exp(A) exp(B) = exp (1/2[A, B]) exp (A+B).  Tức là phép nhân lũy thừa không còn tương ứng 1-1 với phép cộng số mũ nữa. Đối với các toán tử nói chung, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf chỉ đúng khi tập hợp các toán tử là kết hợp, tức là [A, [A, B]] = 0 = [B, [A, B]]. Một học sinh giỏi toán có thể đặt ngay câu hỏi nếu các toán tử không thỏa mãn điều kiện kết hợp thì công thức nhân lũy thừa Cambell-Haussdorf sẽ ra sao. Có thể trả lời trước là công thức tổng quát Cambell-Haussdorf-Hubbard là một chuỗi vô tận, có thể dừng lại nếu đưa ra giả thiết nhất định. Như vậy đồng nhất thức này có thể dùng để hiểu việc mở rộng các cấu trúc toán tử, khi có yêu cầu thực tế.

Lấy một ứng dụng cụ thể là toán tử đạo hàm. Đạo hàm chính là toán tử sinh ra phép tịnh tiến F(x) --> F(x+a) nhờ công thức Taylor viết dưới dạng F(x+a) = e^(a^\mu \partial_\mu) F(x). Toán tử e^(a^\mu \partial_\mu) là biểu diễn của phép tịnh tiến. Trên không gian Euclide n-chiều, do các đạo hàm giao hoán nên không có gì lý thú liên quan đến đồng nhất thức Cambell-Haussdorf khi nhân lũy thừa, hay thực hiện hai phép tịnh tiến liên tiếp.

Chúng ta hãy xét các không gian ( nói một cách toán học là đa tạp nhưng dùng không gian cho đỡ tốn bộ nhớ vì khái niệm) Riemann. Khi đó có các toán tử đạo hàm hiệp biến D_\mu = \partial_\mu + i A_\mu(x) với A_\mu(x) gọi là liên thông, chính là các trường vật lý có thể quan sát được. Đạo hàm hiệp biến là toán tử không giao hoán  [D_\mu, D_\n] = F_{\mu \nu} đại lượng F_{\mu \nu} chính là cường độ của trường vật lý, ví dụ như điện trường và từ trường xuất hiện là nhờ tính không giao hoán của phép tính tiến. Nói một cách khác, các trường vật lý như điện và từ trường đã phá vỡ tính giao hoán của các phép biến đổi tịnh tiến. Như vậy, tính giao hoán bị tự nhiên phá vỡ trước khi nói đến lượng tử.

 Phép tịnh tiến trên không gian Riemann được biểu diễn bằng toán tử e^(a^\mu D_\mu) và ta có e^(a^\mu D_\mu) F(x) = alpha (a, x) F(x+a).  Thừa số alpha(a,x) xuất hiện và gọi là 1-cocycle, là một đại lượng đo sự méo đi của không gian, được nghiên cứu trong một nhánh của tô pô là lý thuyết đồng điều. Như thế, các tư tưởng của toán học hiện đại xuất hiện hết sức tự nhiên, mà một học sinh trung học, nếu được dạy đúng cách, có thể hiểu dễ dàng.

Áp dụng liên tiếp hai lần phép tịnh tiến theo vector a1 và a2 chúng ta có exp (a1^\mu D_\mu) exp(a^\nu D_\nu) =  \alpha(a1, a2, x, 2) exp((a1+a2)^\mu D_mu).   Trong đó \alpha(a1,a2,x, 2) gọi là 2-cocycle. Ở đây chúng ta bắt buộc phải dùng công thức Cambell-Haussdorf để tính \alpha(a1,a2,x,2). Ở đây có rắc rối một chút, nhưng 2-cocycle có thể tính ra được bằng tích phân vòng theo chu vi của tam giác với các đỉnh x, x+a1, x+a1+a2 theo cường độ trường nói ở trên. Áp dụng công thức Gauss-Stokes, tích phân đó không triệt tiêu nếu trong tam giác đó có các đường sức đi qua. Áp dụng trong vật lý, ta sẽ thấy một hiện tượng không bình thường: nếu một hạt mang điện chuyển động trong một không gian, trên đường đi có thể không có tác động nào của trường vật lý, nhưng nó sẽ cảm thấy được cái trường vật lý đó, khi chuyển động theo hai đường đi khác nhau nhờ 2-cycle. Trong vật lý đây gọi là hiệu ứng Bohm-Arahonov phát hiện trong những năm 70 của thế kỷ trước và được công ty Hitachi đầu tư để thực nghiệm.

Quay trở lại việc tiếp tục mở rộng đồng nhất thức Cambell-Haussdorf cho các toán tử không kết hợp, chúng ta có thể áp dụng ba phép tịnh tiến liên tiếp.

     exp(a1^\mu D_mu) exp(a2^mu D_\mu) exp (a3^\mu D_\mu) = \alpha(a1,a2, a3, x, 3) exp((a1+a2+a3)^\mu D_mu) với alpha (a1,a2,a3,x,3) là 3-cocycle. Tương tự ta có các cocycle bậc cao hơn và tính được chúng qua các lớp đặc trưng Chern-Pontrijagin, Chern-Simon của các không gian Riemann và chúng có các ý nghĩa vật lý là các nguồn vật chất đặc biệt như đơn cực từ, soliton,... Đó là công trình đầu tiên của tôi viết độc lập tại Việt Nam được đăng trên một tạp chí ISI.

    Điều đáng nói là về kỹ thuật công trình này rất đơn giản và tự nhiên, đến mức mọi học sinh trung học đều có thể hiểu nếu được giảng giải kỹ càng. Mặt khác, nó liên hệ rất nhiều ý tưởng từ toán sơ cấp, phương pháp mở rộng từng bước, có nguyên tắc, có quan sát vật lý, đến các khái niệm của toán tôpô khá advanced.  Đặc biệt, lý thuyết này còn có thể tiếp tục phát triển để đưa ra các khái niệm mới về lý thuyết biểu diễn các phép biến đổi, do ở đây tính đồng phôi không còn được bảo đảm. Có thể gia công thêm để có một lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng với các cocycle có các ý nghĩa vật lý.

Một biểu diễn nhóm đối xứng thường tương ứng với một đối tượng vật lý như hạt hay trường. Trong một công trình khác tôi đã áp dụng một cách biểu diễn khác với biểu diễn tuyến tính là biểu diễn phi tuyến để thu được một mô hình vật lý phù hợp với thực nghiệm tốt hơn mô hình của Skyrme-Adkin-Nappi-Witten. Có cơ sở để thấy rằng các biểu diễn với các cấu trúc đồng điều như đã thấy từ việc suy rộng công thức nhân lũy thừa sẽ có những hiệu ứng vật lý khác nhau. Và đáng nói hơn, thực tế vật lý dường như không tuân biểu diễn tuyến tính, cũng như không tuân theo luật giao hoán. Các cấu trúc trừu tượng như các đại lượng không giao hoán, không kết hợp hoặc rộng hơn nữa, bắt đầu chỉ là trò chơi của tư duy, ở một môi trường tự nhiên nào đó, sẽ thể hiện trong thực tế. Sự phù hợp giữa tư duy và thực tiễn có lẽ là bí mật cả đời của tôi mà tôi vẫn luôn tò mò với tinh thần xây dựng, mặc dù vẫn còn nhiều nỗi lo toan.

Lý thuyết xác suất và ngôn ngữ học tính toán

Ứng dụng lý thuyết xác suất vào ngôn ngữ học dựa trên một quan sát hết sức đơn giản:  "Cho một câu, hoặc một cụm từ, làm thế nào để biết đó là một câu hoặc cụm từ sai hay đúng".

Để làm điều đó, hãy quan sát người đánh giá. Đa phần là đọc đi đọc lại câu hoặc cụm từ đó. Nếu cảm thấy "quen quen" thì nhiều khả năng là đúng, nếu nghe "lạ tai" thì nhiều khả năng là sai. Nếu toàn bộ xã hội thấy "lạ tai" thì chắc chắn là sai. Tất nhiên còn một khả năng nữa là phân tích ngữ pháp. Tuy nhiên, một câu kiểu như "cối đá chạy băng băng bằng hai chân và há mồm nuốt chửng tòa nhà" có thể đúng về ngữ pháp nhưng không có ý nghĩa gì.

Để lượng hóa tính chất "quen quen" hay "lạ tai" người ta có thể dùng lý thuyết xác suất. Cho hai câu gần giống nhau S1 và S2, người ta có thể phân định, câu S1 đúng hơn S2, nếu tần suất xuất hiện của S1 nhiều hơn S2. Cố nhiên giả thiết này có thể tranh biện, nhưng trong thực tế cách phân định này vẫn được áp dụng theo nguyên tắc "phổ thông đầu phiếu". Điều đó có nghĩa là ba anh thợ giày vẫn thắng một anh bác học hay chữ. Như vậy "soi mói" hoặc "thăm quan" có thể coi là những từ đúng chính tả, theo cùng một lý luận. Theo cách "phổ thông đầu phiếu" như vậy có thể dùng phương pháp "hỏi cụ Google" và đếm tần suất xuất hiện của S1 và S2 trên Google. Nếu giả thiết Google có thể coi như là xấp xỉ tốt của việc sử dụng ngôn ngữ trong thực tế (do mẫu đủ lớn và đủ ngẫu nhiên), thì hoàn toàn có thể viết một phần mềm "hỏi Google". Trong thực tế, nếu bạn viết một câu hoặc cụm từ (tiếng Anh, Việt hay bất cứ ngoại ngữ nào) mà bạn không dám chắc có đúng không, tôi khuyên bạn nên search trên Google (nhớ để cả câu trong ngoặc kép). Nếu các nguồn đáng tin cậy đều xuất hiện các câu hoặc cụm câu như thế, bạn có thể gần như chắc chắn là câu đó có thể dùng được. Trong trường hợp câu đó sai, bạn có thể có excuse là "cả làng đều mắt toét".

Vấn đề tiếp theo đặt ra là nếu cả S1 và S2 đều chưa xuất hiện lần nào (ít ra trong kho tri thức cá nhân của tôi) thì làm thế nào để đánh giá được S1 và S2. Không cần lý thuyết cao siêu, chỉ dùng lương năng, chúng ta có thể "sáng tác" ra ngay được một phương pháp: tách S1 và S2 thành các thành phần đã xuất hiện trong kinh nghiệm ( nghe "quen quen"). Câu nào có nhiều thành phần "quen quen" hơn có thể sẽ có khả năng đúng nhiều hơn. Tuy nhiên, ở đây có vấn đề là việc gắn kết các thành phần "quen quen" lại với nhau sẽ đánh giá như thế nào. Để làm điều đó, chúng ta có thể dùng khái niệm covering sets (phương pháp ưa thích của các nhà topo học). Chúng ta sẽ phủ các câu bằng các đoạn. Sau đó chúng ta có thể tính giá trị "quen quen" của câu dựa trên giá trị "quen quen" của mỗi đoạn đó bằng một công thức nào đó.

Trong thực tế, các nhà xử lý ngôn ngữ thường dùng mô hình n-gram, sử dụng xác suất để một từ thứ n là w(n) đứng sau dãy w1....w(n-1). Xác suất này thực ra là xác suất của sự kiện dùng w1... w(n) trong đời sống. Như vậy xác suất này được tính thế nào? Người ta dùng một phương pháp được gọi là mô hình ngôn ngữ (language model) hoặc khối liệu văn bản (text corpus), trong đó tích lũy tất cả các câu có thể tìm thấy (chẳng hạn bằng cách lấy trên Web về). Sau đó đếm các n-gram, tức là chuỗi gồm n từ (hoặc âm vị) bắt đầu bằng w1... w(n-1). Nếu tổng số của các n-gram này là N và số n-gram w1... w(n-1) x là N(x), thì xác suất của n-gram w1...w(n-1) x sẽ là N(x)/N. Mô hình giản đơn nhất là mô hình 2-gram. Như vậy xác suất của một câu w1... w(M) sẽ là P(w1).P(w1w2).P(w2.w3)....P(w(M-1)w(M)). Tương tự, ta có các mô hình 3, 4,..., n-gram. Như vậy, câu nào có xác suất cao hơn ắt hẳn sẽ "đúng" hơn.

Mô hình n-gram dù sao cũng đưa ra được một cách tính nhất quán. Cũng như việc đánh giá thi đua, tính lương, cho điểm, bầu cử, trao bằng cấp, chia chác quyền lợi cũng đều có tính tương đối, nhưng quan trọng nhất là luôn luôn thực hiện được và nhất quán. Tuy nhiên, mô hình n-gram dựa trên quá nhiều giả thiết hidden, mà mỗi giả thiết như vậy cần phải làm rõ giới hạn. Thứ nhất, là nếu một câu dù ít được dùng vì một lý do nào đó, chẳng hạn quá cao siêu về ý nghĩa, nhưng nếu đã được chấp nhận thì nó vẫn đúng 100% cho dù tính kiểu nào. Lấy ví dụ câu thành ngữ "anh em kiến giả nhất phận" thường được dùng sai thành "anh em kiến giải nhất phận". Nếu áp dụng mô hình 2-gram, rõ ràng xác suất dùng "kiến giải" lớn hơn xác suất "kiến giả" trong thực tế. Nếu theo công thức xác suất 2-gram, câu sai sẽ có xác suất lớn hơn. Trong khi đó nếu dùng Google sẽ thấy câu đúng xuất hiện nhiều hơn câu sai.

Như vậy, việc ứng dụng Toán học cũng phải có tiêu chí thực nghiệm như trong vật lý. Dường như mô hình n-gram vẫn chưa lột tả hết được ý tưởng covering set đơn sơ ban đầu.

Những điều chưa nói về hạt Higgs

Trưa nay ngồi với hai ông bạn kết nghĩa vườn đào từ hồi lớp 1, tức là cách đây đã hơn nửa thế kỷ. Tình cờ lại nói chuyện về hạt Higgs. Mình cũng chẳng hiểu tại sao xã hội lại quan tâm nhiều thế đến hạt Higgs, mà không quan tâm mấy đến những vấn đề như lỗi ngữ pháp tiếng Việt. Câu hỏi cuối cùng của ông bạn mình, mình cho là hợp lý nhất: tại sao tìm ra được hạt Higgs lại thú vị đến thế? Mình nghĩa là do truyền thông và các nhà triết học hơi ầm ĩ, nào là hạt sinh khối lượng, nào là hạt thống nhất tương tác. Vấn đề này không khéo gây nhiều ngộ nhận. Do đó phóng bút viết chơi về hạt Higgs theo phong cách Higgs for Dummies, nhưng có nhiều chuyên gia vật lý cũng chưa nói tới hoặc chưa để ý đến.

Trước tiên, cần để ý là hạt Higgs được nói nhiều trong năm 2013 và hai nhà lý thuyết là Higgs và Englert được giải thưởng Nobel, nhưng điều bất thường là lãnh đạo nhóm thực nghiệm "tìm ra hạt Higgs" thì không được giải thưởng. Điều này trái với lệ thường, khi tìm ra vi phạm chẵn lẻ, các quark b, t, c, s và các hạt W, Z boson các nhà lý thuyết đều được trao giải cùng với lãnh đạo nhóm thực nghiệm. Tại sao vậy? Đơn giản là vì cái hạt mà người ta phát minh ra, chưa chắc đã là hạt Higgs. Bản thân tôi cũng không tin vì tôi có một mô hình lý thuyết tiên đoán khối lượng hạt Higgs vào cỡ 250-300 GeV. Rất cá nhân, tôi hy vọng là lý thuyết của tôi đúng.

Đa số các nhà vật lý lý thuyết vui mừng vì họ đã đánh cuộc cả sự nghiệp vào đó. Hạt Higgs là hạt cuối cùng, chưa được phát hiện ra, trong lý thuyết chuẩn Salam-Weinberg-Glashow thống nhất tương tác yếu và tương tác điện từ. Lý thuyết gọi là chuẩn, bởi vì đối với rất nhiều nhà lý thuyết, mọi công trình của họ đều xuất phát từ lý thuyết này, coi đây là chuẩn mực để xuất phát. Nếu hạt Higgs không tồn tại, không những lý thuyết này không thể gọi là chuẩn mà còn biến hàng chục nghìn công trình thành trò chơi thể thao thuần tuý. Vì vậy tâm trạng phấn khích của các nhà vật lý lý thuyết khi có bằng chứng thực nghiệm về sự tồn tại của hạt Higgs hoàn toàn có thể hiểu được. Tuy nhiên, quan tâm của xã hội dường như vẫn hơi lệch lạc một chút do truyền thông cảm nhận không hoàn toàn chính xác và cũng hơi cường điệu hoá. Vật lý hiện đại không hề sụp đổ nếu không có hạt Higgs. Nếu không có hạt Higgs vẫn có vô khối các hạt khác.

Trong vùng năng lượng 100-150 GeV mà Trung tâm CERN đã tìm ra dấu vết của hạt Higgs có thể có rất nhiều các sự kiện, hoặc các cộng hưởng. Người ta đã bóc tách những dữ liệu hiếm hoi để tìm ra một cộng hưởng có mức năng lượng 125 GeV, với spin 0 và một số đặc trưng nào đó để cho rằng đó là hạt Higgs. Nhưng để khẳng định các dữ liệu này là các dấu tích của hạt Higgs mà Salam và Weinberg đã sử dụng để sinh khối lượng cho các hạt truyền tương tác yếu thì vẫn chưa đủ sức thuyết phục. Có thể đó là lý do lần này nhóm thực nghiệm chưa thể chia sẻ vinh quang với các nhà lý thuyết.

Tại sao người ta lại cần đến hạt Higgs trong việc sinh khối lượng trong lý thuyết thống nhất tương tác yếu và điện từ?  Các hạt sơ cấp có thể chia làm hai loại: hạt vật chất và hạt truyền tương tác. Khi chưa có cơ học lượng tử thì tương tác là dạng sóng. Cơ học lượng tử cho rằng sóng cũng vừa là hạt, do đó tương tác điện từ cũng có thể xem như hạt photon, không có khối lượng. Hạt photon không có khối lượng nên có thể truyền rất xa, từ các thiên hà cách chúng ta cả tỷ năm ánh sáng. Giải thích một các nôm na, là vì "nhẹ gánh như sư" nên đi đâu cũng dễ.

    Các tương tác khác giữa các hạt cơ bản vật chất như tương tác yếu, tương tác mạnh đều có tầm hoạt động rất ngắn dưới mức nano. Chính vì vậy, các tương tác này được biểu hiện bằng các hạt có khối lượng. Về nguyên tắc, có thể đưa vào lý thuyết các hạt truyền tương tác có khối lượng tuỳ ý. Nhưng tiếc thay, các lý thuyết đó thường có "bệnh hoạn", các công thức tính toán sẽ vấp phải các kết quả "kỳ cục", một số tích phân sẽ phân kỳ. Để khắc phục các điểm xấu xí thuần tuý lý thuyết, Higgs và Englert đã tìm ra một cơ chế: các hạt truyền tương tác trong lý thuyết ban đầu đều có khối lượng bằng 0, và vì thế mọi việc đều đẹp đẽ. Các hạt này lại tương tác với một loại hạt vô hướng và có thể năng tự tương tác phi tuyến. Trong một điều kiện nhất định, mà người ta gọi là vi phạm đối xứng tự phát, sau một phép biến đổi toán học, lý thuyết này biến thành một lý thuyết mà một số trường tương tác có khối lượng. Sau này S. Coleman đã mô tả là một số hạt truyền tương tác đã "chén" hạt Higgs và trở nên béo mập.

    Cơ chế này sau này người ta cũng tìm thấy trong một điều kiện ở mức năng lượng thấp hơn nhiều, khi vật chất chuyển sang pha siêu lỏng hoặc siêu dẫn. Điều kiện đặc biệt này xảy ra khi đối xứng bị vi phạm tự phát. Vi phạm đối xứng là tự phát là khi lý thuyết hoàn toàn đối xứng có các lời giải không đối xứng. Thực ra tập hợp tất cả các lời giải là đối xứng, nhưng một số lời giải cụ thể không đối xứng và thực tế sẽ phải chọn lấy một trong các lời giải không đối xứng. Coleman ví điều này như một con bò ở tâm vòng tròn và cỏ được xếp thành vòng tròn xung quanh. Nếu áp dụng điều kiện đối xứng, thì con bò sẽ phân vân và chết đói. Để sống sót, con bò sẽ chọn bừa một hướng, vi phạm đối xứng quay một cách "tự phát" để ăn cỏ. Ở đây có một điều mà các nhà vật lý hạt sơ cấp ít để ý, thực ra có 2 chế độ khác nhau, trong một chế độ đối xứng là bảo toàn ở một chế độ khác đối xứng bị vi phạm tự phát. Như vậy, có một hiện tượng chuyển pha từ pha đối xứng sang pha vi phạm tự phát. Thế giới chúng ta sống ở pha vi phạm đối xứng tự phát, do đó một số hạt truyền tương tác có khối lượng và một số hạt không có khối lượng. Cũng nhờ tương tác với hạt Higgs mà các hạt vật chất trong lý thuyết ban đầu không có khối lượng mà sẽ trở nên có khối lượng sau một phép biến đổi toán học. Nói một cách khác, cơ chế Higgs là một phép ảo thuật toán học để từ các hạt không có khối lượng sinh ra các hạt có khối lượng trong điều kiện nhất định.

Vấn đề của lý thuyết chuẩn này là quá nhiều tham số, trong đó có khối lượng của hạt Higgs, khối lượng của quark t, hoàn toàn tự do. Chính vì thế, trong một thời gian dài người ta không biết tìm hạt Higgs ở vùng năng lượng nào. Mọi việc có thể đã dễ dàng hơn, nếu người ta biết hạt Higgs nằm trong một vùng năng lượng xác định.

Nếu hạt Higgs không tồn tại, các nhà lý thuyết đã có sẵn mô hình khác, khi đó lý thuyết Salam-Weinberg-Glashow chỉ là một mô hình gần đúng, tương tự như lý thuyết siêu dẫn của Landau-Ginzburg. Rất trùng hợp lý thuyết Landau-Ginzburg cũng có trường vô hướng với thế năng phi tuyến Phi^4. Khi đó hạt Higgs, tương tự như cặp Cooper trong siêu dẫn, là trạng thái hợp thành của cặp quark-phản quark. Người ta thường gọi đây là mô hình Nambu.

Câu chuyện về Higgs đến đây là kết thúc, nếu như năm 1986, Connes, một nhà toán học được giải thưởng Fields, đã sử dụng hình học không giao hoá để xây dựng lý thuyết Salam-Weinberg và thấy trường Higgs xuất hiện một cách tự nhiên trong lý thuyết. Trong lý thuyết của Connes, không gian trong là Z_2 gồm 2 điểm rời rạc. Nói một cách khác, không gian vật lý của Connes gồm hai lá không thời gian tồn tại song song và trường Higgs sinh ra nhờ dịch chuyển của vật chất giữa hai lá đó. Lý thuyết của Connes có ưu điểm khác nữa là số tham số rất ít, do đó khả năng dự đoán mạnh hơn nhiều so với lý thuyết của Salam-Weinberg-Glashow, chẳng hạn lý thuyết theo cách xây dựng của Connes đã tính được chính xác tỷ số giữa hằng số tương tác điện từ và hằng số tương tác yếu. Năm 1995, chỉ một tuần sau khi phát hiện về quark t được công bố với khối lượng 178 GeV, tôi đã công bố tính toán của tôi về khối lượng quark t tại một hội nghị quốc tế với khối lượng 175 GeV. Khi đó mặc dù các công thức đã có sẵn nhưng tôi chưa hoàn thành các phép tính nên không thể đưa ra tính toán cho khối lượng Higgs. Sau đó vài tháng tôi đã tính được khối lượng của Higgs sử dụng hình học không giao hoán của Connes là 254 GeV và công bố trong một số đặc san kỷ niệm 100 năm ngày sinh của Egene Wigner.

Học giả học thật: "tựu chung" hay "tựu trung"

Nếu dùng Google có thể thấy tội nhân của nạn loạn chữ nghĩa ở Việt Nam là các sĩ phu biết chút chữ nghĩa chứ không phải là dân lành.

Vụ "thủy tạ"-"thủy tọa" đã buồn cười kinh hoàng với mấy bác hay chữ lỏng. Các bác dạy rằng "tọa" là "ngồi", "thủy tọa" là "ngồi trên nước" vì vậy nhà Thủy Tạ phải đọc là nhà Thủy Tọa mới đúng. Các bác còn giải thích từ Thủy Tạ (sai) sinh ra là do người Hà Nội lười uốn môi, đọc ngọng mà ra. Có thể thấy khá nhiều trang web, báo điện tử đứng đắn có ý kiến chỉnh người khác phải đọc là "thủy tọa". Tôi phải làm một research nhỏ bằng Google và tìm được từ Thủy Tạ là "căn phòng trên nước".  Trừ phi, ông Hà Văn Thùy đúng, Thủy Tọa vốn là từ Việt, bọn Tàu học lóm của ta mà thành Thủy Tạ. Cho dù như thế, nói ngọng là bọn Tàu quyết không phải người Hà Nội.

Hôm nay, tôi lại thử chữ "tựu trung"-"tựu chung", những tưởng là có một đánh giá về từ viết sai chính tả. Nhưng hỡi ôi, thất vọng toàn tập. Lại có một lô học giả khác quả quyết "tựu trung" là chữ  就中 (Tựu là đến, tề tựu => tất cả. Trung là ở giữa, trong đó. Vì vậy, tựu trung có nghĩa như : Tóm lại. Từ điển của soha, website của nhà báo Việt Nam,... Đầu tiên, tôi thực sự hoảng sợ vì thân mang tiếng là người đi sửa lỗi chính tả cho người khác mà từ nhỏ đến lớn vẫn viết "tựu chung".

Cũng tương tự như "thủy tọa", tôi rất nghi ngờ ở cách thành lập từ của "tựu trung". "Tựu chung" là "tới cùng" (eventually) là một bổ ngữ. "Tựu trung" có vẻ là một giới từ "ở trong". Muốn chứng minh điều đó, chỉ cần gọi bác Google hỏi. Trước tiên, tôi tra từ điển Thiều Chửu để có từ "tựu chung" là 就終.  Sau đó Google trong ngoặc kép "就終" và "就中". Sau đó lấy các câu tìm được bỏ vào Google Translate (đối với những người chữ Hán bập bõm như tôi như thế là tiện nhất). Có thể thấy ngay các câu có "tựu chung" đều có ý "finally", "eventually", "to the end". Các câu có "tựu trung" đều chỉ có in "on the", "in the",...

Cố nhiên, cách tra cứu như thế chỉ có nghĩa khi các từ Hán-Việt tồn tại và có gốc Hán. Nếu theo lý thuyết không có từ Hán-Việt, thì không thể phân định được.

Cuối cùng chỉ nói thêm một ý: Bọn đọc sách bày ra thì bọn đọc sách khác phải dọn cũng là thường tình, chẳng có công cán gì cả.

Khắc dấu mạn thuyền

Mấy hôm nay dân cư mạng xôn xao việc một lập trình viên Việt Nam kiếm một ngày hơn 1 tỷ nhờ trò chơi trên điện thoại di động nền Android. Các lập trình viên thì tự thấy mình thừa khả năng lập trình công nghệ để làm một trò chơi như thế. Nhiều kẻ rút ra những "nguyên tắc", "bí quyết" cho thành công kiểu như "phần mềm đẹp, lôi cuốn, kích thích đam mê" hay "nền tảng thiết kế vững chắc đơn giản". Các bậc thầy, nhà quản lý thì vội cho rằng đây là thành công của trí tuệ Việt Nam, cần khuyến khích mở rộng để có một nền kinh tế mang lại ngoại tệ mạnh cho dân tộc đang cùng quẫn với các ý tưởng ứng dụng khoa học công nghệ.

Thực ra, thành công của một ứng dụng phần mềm game không có liên quan gì tới công nghệ, và cũng chẳng có nguyên tắc gì cả. Thành công của một ứng dụng trong ngành giải trí nói chung là ở nội dung. Đã nói đến nội dung thì ăn nhau ở khâu sáng tác. Tác phẩm sáng tác thì không thể sản xuất hàng loạt như hàng công nghiệp. Một người thường cũng có thể có vài sáng tác kiệt xuất sánh ngang với các nhà văn, nhưng trở thành nhà văn chuyên nghiệp có thể ra tác phẩm đều đặn thì không thể. Với một người tay ngang thì sáng tác sinh ra do tích tụ nhiều năm và phụ thuộc vào nhiều yếu tố ngẫu nhiên để hình thành, và rất khó để lặp lại thành công, hay phổ biến kinh nghiệm cho người khác, đến mức như là ngẫu nhiên. Các nhà sáng tác chuyên nghiệp chỉ có thể sinh ra trên một nền văn hoá phong phú, một nền giáo dục và đạo đức khuyến khích sáng tạo, các kỹ năng mềm đã được thành tập  quán từ bé. (Tất nhiên có những ngoại lệ đối với các nền sáng tác xây dựng trên nền tảng của bộ máy tuyên truyền mà tôi không muốn và cũng không có đủ năng lực để phân tích kỹ sự khác biệt).

Ngô Bảo Châu được giải thưởng Fields không có nghĩa là phải khuyến khích mọi người học Toán để gặt giải thưởng Fields cho quốc gia. May thay, đó không phải là con đường duy nhất bắt buộc một dân tộc phải đi để đến hạnh phúc. Toán, phần mềm, game chẳng qua là những nơi đột phát của các tinh hoa tích tụ, chứ không phải là bí quyết đi đến thành công. Lặp lại thành công của người khác theo lối bắt chước có khác gì khắc dấu mạn thuyền để tìm gươm trong chuyện xưa: Có kẻ đi thuyền đánh rơi gươm quý xuống sông. Sông sâu nước xiết làm sao mà mò. Anh ta điềm nhiên khắc dấu trên mạn thuyền. Có người hỏi anh tại sao làm vậy. Anh ta nói: tôi đánh dấu để khi nào đến bến sẽ xuống tìm.

Cách đây không lâu trong một buổi họp Viện bàn về việc phát triển công nghệ và tạo ra doanh thu cho Viện. Có người nói cần gì phải suy nghĩ phức tạp, có một anh sinh viên năng lực cũng nhàng nhàng làm một ứng dụng phần mềm thông báo kết quả sổ số thu vài tỷ hàng tuần. Thực ra thành công của anh sinh viên nọ mà quy công lao và thành tích của công nghệ thì hết sức sai lầm, có khác gì khắc dấu mạn thuyền và những người đang hô hào đi làm game. 

Beauty and the Beast và sự cấp tiến của phụ nữ

Trong ý thức hay trong biểu hiện của cánh đàn ông, phụ nữ thường được mô tả như những người bảo thủ, bảo vệ cái cũ, không chịu tiến bộ, "không hiểu gì về điện". Lâu ngày, nhiều chị em phụ nữ cũng chấp nhận quan điểm đó. Sau này, tôi lờ mờ cảm thấy điều đó là một sai lầm. Mẹ tôi có rất nhiều thói quen phong kiến, thường theo quan điểm của chồng, nhưng ở những quyết định quan trọng hoặc đánh giá những cái mới thường cấp tiến hơn cha tôi.

Khi đi du học, tôi cũng thấy nhiều bạn gái hội nhập vào văn hóa nước bạn tốt hơn. Nhưng tất cả những cái đó mới là phỏng đoán lờ mờ. 

Trên đường ra sân bay Bangkok, nhìn thấy biển quảng cáo Beauty and the Beast, rốt cuộc tôi phát hiện ra một lý luận, làm tôi tuyệt đối tin tưởng vào tính cấp tiến vượt trội của chị em. Người ta thường bảo thủ nhất là ở đánh giá về cái đẹp. Trong tiềm thức của chị em ta bao giờ cũng có chút đam mê dành cho "The Beast". Cái đẹp là gì? Tại sao người ta phải thích cái đẹp?

Có người nói với tôi: Cái đẹp là cái trung bình. Đừng đen quá, đừng trắng quá, đừng dài quá, đừng ngắn quá, đường tròn quá, đừng gãy góc quá, ... thế là đẹp.

Nếu vậy, việc Beauty chấp nhận the Beast đã thấy tư tưởng cấp tiến thoát khỏi "bẫy trung bình" của phụ nữ. Tôi chắc đa số cánh đàn ông khó mà làm được.

Năng lực thẩm định cái đẹp, khi đã vượt qua được cái đẹp trung bình đã là một bước tiến lớn, cũng như các bản nhạc du dương đã có được các hợp âm chỏi, chối tai hay những nét stroke đột phá trong các họa phẩm của Kadinsky.