Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (3)

Cuộc đi săn hổ của tôi, ở ranh giới giữa Toán học và Vật lý (3)

Các khái niệm của hình học vi phân, cho tôi có đủ công cụ để tìm một cấu trúc không thời gian mới phù hợp cho vật lý. Tôi đã thử mở rộng không thời gian vật lý bằng các tọa độ lấy các giá trị Clifford, quaternion và octonion thay cho Grassmann. Thậm chí, tôi cũng đã thử thay thế các toạ độ không thời gian bởi các số siêu phức. Nhưng có thể do hạn chế về năng lực, tôi không tìm được tính chất vật lý gì thú vị. Mặt khác, tôi không có ý định trở thành chuyên gia về phát triển công cụ toán học thuần tuý. Do đó, rất nhanh tôi từ bỏ các ý tưởng đơn giản này, để đi đến các cấu trúc toán học tinh vi và gần vật lý hơn. 

Ban đầu, tôi thích khái niệm không gian phân thớ trên tập coset G/H chỉ bởi vì nó là ví dụ hiếm hoi mà tôi hiểu được khá nhanh khi học hình học vi phân. Có thể do từ lâu tôi vẫn băn khoăn mối liên quan nào đó mang tính động lực vật lý giữa các lý thuyết có đối xứng cao hơn và thấp hơn. Tôi lờ mờ cảm thấy rằng, có lẽ khái niệm này sẽ là công cụ tốt hơn để mở rộng khái niệm không thời gian. Cảm nhận đó được khẳng định nhờ Victor Ogievetsky, người được phương Tây nhắc tới như là Feza Gursey của Nga. Khi tôi gặp ông, cũng là lúc mà nhóm của ông đang tạo ra cả một ngành công nghiệp chế tạo ra các cái gọi là siêu không gian điều hòa gồm các toạ độ không thời gian, toạ độ Grassmann và các toạ độ coset G/H. Trong vòng 3 tháng lao động cật lực, tôi hoàn thành một số tính toán và công bố chung với nhóm của Ogievetsky một công trình, mà sau đó nó đã giúp tôi được các nhóm nghiên cứu ở phương Tây để ý tới. Tuy vậy, tôi cảm thấy các công cụ kỹ thuật quá phức tạp đó khó có khả năng đưa tôi đến đích mong muốn. 

Trong thời gian đó tôi đã tìm được Witten và cảm thấy đồng điệu với ông khi đọc những tuyên ngôn của ông trong các bài đầu tiên về siêu không gian nhiều chiều "con đường để đi đến siêu đối xứng là phải qua không gian nhiều chiều, con đường xây dựng lý thuyết nhiều chiều là phải dùng siêu đối xứng". 
Cần phải nói thêm siêu đối xứng là đối xứng giữa các hạt có spin nguyên và các hạt có spin bán nguyên. Pauli đã chỉ cho chúng ta rằng hai loại hạt cơ bản này có thuộc tính khác nhau. Các hạt spin nguyên có xu hướng "đa thê", giống nhau, hợp với nhau, thì có thể kết giao vô hạn. Các hạt spin bán nguyên có xu hướng "một vợ một chồng", cấm mọi hành động "vượt rào". Việc xếp hai hệ thống đạo đức rất khác nhau này vào một rọ đối xứng là một cưỡng bức rất thiếu tự nhiên. Tuy nhiên, điều kỳ lạ nhất là nếu một lý thuyết vật lý có được tính chất siêu đối xứng thì các loại kỳ dị, các tích phân phân kỳ trong các công thức vật lý sẽ khử lẫn nhau một cái kỳ diệu. Một cách kỳ bí nào đó, chỉ không gian bốn chiều mới có những điều khó chịu đó, hoàn toàn phù hợp với kết quả phân loại của đa tạp tô pô. Ở đây, giữa toán học và vật lý bắt đầu có một cuộc giao cảm, các trực quan vật lý có thể gợi ý cho các ý tưởng toán học. Những người lạc quan nhất vào những năm 80 đều nghĩ rằng sẽ nhanh chóng nắm bắt được điều gì đó lớn lao trước điểm hẹn cho một cách mạng tư tưởng của thế kỷ. 

Tôi bắt đầu cố gắng đọc tất cả các công trình của Witten và nhận thấy được rằng đây sẽ là người thiết kế ra các hướng nghiên cứu cho vật lý lý thuyết trong những thập kỷ 80-90, mặc dù lúc đó còn rất ít người biết đến Witten. Có lẽ, từ một nơi xa xôi lạc hậu bị cô lập thông tin, mà tôi có thể sớm phát hiện ra điều đó, là vì tôi đã không tiếc công học toán. Vào thời điểm đó nếu được làm việc ở phương Tây, có lẽ tôi đã có thể dễ dàng hoà nhập vào dòng chủ lưu của vật lý.

Điểm mạnh của lý thuyết vật lý trong không gian nhiều chiều là có thể liên kết các hiện tượng vật lý có vẻ như không liên quan của thế giới bốn chiều với nhau. Chẳng hạn, mối cảm thông giữa một chàng trai và một cô gái là khó có thể cắt nghĩa nếu chỉ hạn chế trong thế giới 4 chiều. Nhưng nếu có thể cho rằng hai cá thể chỉ là hai hình chiếu khác nhau của cùng một đối tượng nhiều chiều, người ta có thể có một cơ chế động lực để giải thích mối tương quan đó. Tuy vậy, điểm yếu của các lý thuyết nhiều chiều là chúng quá rộng, dường như những ưu điểm do chúng mang lại không bù đắp được. Tình trạng này, cũng giống như việc tìm ra được thêm các phương trình mới, nhưng các phương trình này lại kèm theo quá nhiều các ẩn số mới. 

Chính tôi còn nghi ngờ vào tương lai của những không gian vật lý kiểu thế này, nên đã quyết đinh không tham gia vào việc mở rộng các siêu không gian đến 2,4,8 chiều Grassmann, rồi 11, 26 chiều thực, mặc dù đã chuẩn bị kỹ thuật đầy đủ và công việc này đủ để đưa rất nhiều người lên đài vinh quang. Có nhiều điều hay, nên làm và có thể làm, nhưng không phải dành cho ta, nếu ta không thấy hạnh phúc và không có đủ niềm tin.

Witten vượt qua đám đông cần mẫn đào xới bề bộn đó rất nhanh và chỉ ra những hướng mới với hiểu biết toán học sâu sắc. Từ đây, ông trở thành tổng chỉ huy phát ra các hướng nghiên cứu chủ đạo của vật lý lý thuyết. Trong một công trình vào khoảng 1983-1985, Witten đã chỉ ra các lý thuyết có một đại lượng gọi là số hạng Wess-Zumino sẽ tiềm ẩn những nội dung vật lý mới. Tôi đã hiểu được ngay các phần tử đó có liên hệ với các lớp đặc trưng của Chern và Simon. Tuy nhiên, ý nghĩa vật lý cụ thể của các cấu trúc toán học đó, cho đến khi một người bạn học cũ đã trở thành giáo sư ở MIT gửi cho tôi công trình của Witten-Nappi-Adkins. Công trình này khác hẳn với phong cách thường thấy của Witten mà đi sâu về việc tính toán các đại lượng vật lý của nucleon, dựa trên một mô hình của Skyrme đã xây dựng từ những năm 50-60. 

Mô hình này dựa trên một ý tưởng điên rồ, coi nucleon, hạt tạo thành mọi vật chất xung quanh ta, như là những lời giải đặc biệt của các phương trình mô tả hạt pion, mô tả tương tác mạnh. Các lời giải đặc biệt này tương tự như các xoáy nước trong các hệ thuỷ động học phi tuyến tính. Ý tưởng này điên rồ đến nỗi phải 30-40 năm sau mới trở thành phổ biến trong vật lý. Các nhà vật lý từ thời cơ lượng tử vẫn quen với tư duy số học xây dựng các số nguyên từ số bán nguyên kiểu như: 1/2+1/2= 1 hay 1/2-1/2=0. Làm thế nào để xây dựng các trạng thái có spin 1/2 từ các hạt có spin 0? Skyrme là người đầu tiên chỉ ra được điều đó, ông thấy các nghiệm kiểu xoáy nước đó có khối lượng, bán kính xác định giống như nucleon và phù hợp với vật lý cho đến mức định lượng một cách huyền bí. Ông kiên nhẫn viết khoảng 10 bài báo từ năm 1953 đến 1961 mà hoàn toàn không có ai hưởng ứng, cho đến khi chán nản, bỏ vật lý đi làm một việc khác. Mãi đến sau năm 1965 mới có một nhà toán học chứng minh được các nghiệm đó có tính bền vững vì bảo toàn đặc trưng tô pô. Các nghiệm đó có spin 1/2 vì nếu quay 360 độ người ta không nhận được nghiệm ban đầu. Nói theo ngôn ngữ của toán tô pô, có thể coi tô pô của nghiệm đó như là một băng Mobius, phải đi hai vòng 720 độ mới trở lại trạng thái ban đầu. Tính chất này được bảo toàn nhờ một số gọi là winding number, hay lớp đặc trưng Chern. Nói một cách khác, vật lý phải mất 40 năm mới hiểu được các công trình của Skyrme do không nắm được các kiến thức toán học cần thiết.

Chính nhờ chuẩn bị khá kỹ về tô pô vi phân, tôi hiểu được rất sớm dụng ý của Witten. Các lý thuyết phi tuyến sẽ sinh ra các cấu trúc vật lý mới một cách động lực qua một cơ chế gọi là kích thích tập thể, như vô vàn giọt nước tham gia vào việc tạo ra xoáy nước, nhờ một cấu trúc tô pô đặc biệt. Trong khoảng thời gian 6 tháng tôi cố gắng nuốt tất cả các công trình của Witten và Skyrme. Bãi săn hổ của tôi đã hình thành với ba góc lưới đã giăng sẵn: Wigner với nhóm Poincaré, Witten với các không gian vật lý có tô pô đặc biệt và Skyrme với cơ chế sinh ra vật chất từ tương tác. Vũ khí là khai triển điều hoà của Ogievetsky theo các toạ độ coset G/H.

Có lẽ công việc khó nhất đối với nhà vật lý là việc biểu diễn các ngôn ngữ hình thức nặng nề, thành một ngôn ngữ của mình, lịch lãm và đơn giản. Rất tình cờ, người hướng dẫn nghiên cứu sinh của tôi là Đào Vọng Đức là một chuyên gia về việc trình bày mọi vấn đề khó nhất trở nên đơn giản nhất. Về mặt chuyên môn, hướng đi của tôi và cách tư duy của tôi có lẽ khác với Đào Vọng Đức khá nhiều. Đến nỗi khi tôi bảo vệ tiến sĩ ông phát biểu "số thời gian thảo luận khoa học của tôi với anh Việt tổng cộng chưa tới 3 phút" và một lần tôi đưa một công trình nhờ ông đọc, thì ông nói "mình không thạo về chuyên môn này". Nhiều người cho rằng tôi là học trò bị thất sủng. Tôi đã hỏi thẳng Đào Vọng Đức việc này, ông nói "Hướng dẫn phải tuỳ người. Với Việt, việc được tự do sẽ có ích hơn cho phát triển lâu dài." Với những người khác tôi có thể nghĩ đó là một kiểu nói lẫy, nhưng với Đào Vọng Đức tôi chưa bao giờ phải nghi ngờ. Tuy vậy, càng ngày tôi càng nhận ra rằng phong cách trình bày và phong cách xây dựng hệ thống hình thức của tôi đã nhận ảnh hưởng từ Đào Vọng Đức rất nhiều. Điều đó còn có ý nghĩa nhiều hơn việc tiếp thụ trực tiếp kiến thức. Tôi mãi biết ơn ông về điều đó.

Tôi bảo vệ tiến sĩ trong nước năm 1987, luận văn được đánh giá xuất sắc với 9 bài báo, trong đó có 6 bài đăng nước ngoài. Tôi chưa bao giờ cảm thấy tự ti với tấm bằng "nội địa" của mình. Có lẽ, đối với nhiều tiến sĩ trẻ, thời kỳ sau khi bảo vệ luận án, khó khăn nhất là thoát khỏi ảnh hưởng của thầy. Tôi hoàn toàn không gặp phải vấn đề đó. Chương trình săn hổ của tôi đã hoạch định sẵn sàng. 

Tuy nhiên, vấn đề không hoàn toàn đơn giản vì thông tin khoa học đến Việt Nam quá muộn màng và thiếu thốn. Các tạp chí hiếm hoi đến Việt nam cũng phải chậm từ 3-4 năm. Nếu muốn làm khoa học thực sự, đã đến lúc tôi phải tìm một môi trường khác, hoặc dùng tấm bằng đi làm một việc khác. Tôi đặt cho mình một chương trình 2 năm để chuẩn bị về tiếng Anh, máy tính, cơ sở toán học và các khiếm khuyết về vật lý để ra nước ngoài làm việc. Sau một chuyến công tác ở Pháp, Nguyễn Văn Hiệu có kể cho chúng tôi nghe về Julia, một nhà vật lý rất trẻ và rất giỏi, có một công trình về compact hoá lý thuyết nhiều chiều. Tôi còn nhớ một anh bạn vong niên vỗ vai tôi khích bác "như thế tức là hàm ý là cậu không giỏi". Tôi nói với anh ấy "Em thấy không có gì phải nghi ngờ về điều đó. Nhưng qua đó em thấy hy vọng. Em sẽ cày đến năm 40 tuổi để được như Julia bây giờ. Thế cũng tốt rồi." Nói như vậy để tự trấn an, nhưng tôi cũng còn băn khoăn, nếu ra nước ngoài làm việc, mình có thể cạnh tranh để làm những vấn đề mà người ta đang làm hay không, không thể giơ những vấn đề cũ rích hoặc sách giáo khoa ra để loè họ lâu dài được. 

Tôi quyết định phải làm cái gì đó mới lạ để thử sức theo hai hướng. Không khó lắm để nhận ra không gian thương của các coset của nhóm Poincaré với nhóm quay 4 chiều SO(3,1) chính là đa tạp vật lý 4 chiều. Như vậy biểu diễn của nhóm Poincaré sẽ là các biểu diễn của nhóm SO(3,1) đồng thời là các hàm theo 4 toạ độ thực. Như vậy, ngôn ngữ biểu diễn đối xứng theo coset là phổ quát và không gian vật lý sinh ra một cách tự nhiên nhờ nhóm đối xứng. Nhưng các biểu diễn tuyến tính thường chỉ mô tả được các đối tượng lý tưởng không có tương tác. Nếu chọn một coset khác, có khả năng sẽ sinh ra các tương tác phi tuyến.

Sau nhiều ngày lục lọi tất cả các số tạp chí Physical Review D có ở thư viện quốc gia, tôi tìm được hai công trình của Coleman-Wess-Zumino nói về biểu diễn phi tuyến của một nhóm G, thông qua không gian coset G/H.
Tôi đọc đến đâu hiểu sâu sắc đến đó và quyết định mở lưới theo hai hướng. Hướng thứ nhất, xem có thể tìm các biểu diễn khác nữa cho một nhóm đối xứng, mà có thể tìm được những hình thức tồn tại của nó trong thực tế với tư cách là các đối tượng vật lý. Hướng thứ hai, áp dụng phương pháp biểu diễn phi tuyến cho nhóm SU(2) X SU(2) để xây dựng lại mô hình Skyrme, qua đó tìm hiểu công trình của Witten-Nappi-Adkins. Không ngờ, ở cả hai hướng này, tôi đều có gặt hái. Thành quả tuy chỉ có thể ví như lông hổ nếu nghĩ tới con hổ tôi định săn, nhưng vẫn là hai ý tưởng trong số 3-4 ý tưởng mà tôi đắc ý nhất.

Ở hướng thứ nhất tôi đặt vấn đề tổng quát hoá biểu diễn trong các không gian vật lý có tô pô không tầm thường với các đối tượng đo được là cocycles được phân thành từng bậc. 1-cocycle của một biểu diễn tô pô của một nhóm G chính là trường vector tương tác Yang-Mills của nhóm G, theo ngôn ngữ toán học đây chính là liên thông. Các thế tương tác điện từ, tương tác mạnh, yếu, hấp dẫn đều sinh ra với cách này. 2-cocycle cũng hiển nhiên, chính là cường độ trường, ứng với khái niệm độ cong. Tôi nhanh chóng chỉ ra được các cocycle ở bậc cao hơn là các đặc trưng tô pô như lớp Chern, Chern-Simon,... Điều đáng nói là các cocycle bậc 3, nếu tồn tại sẽ có các hiệu ứng vật lý đo được như hiệu ứng Bohm-Aharonov. Sau này trong các hệ thống vật lý chất ngưng tụ với tương tác mạnh, hoặc với chùm electron đi qua vùng không gian có một lõi từ, người ta cũng đã đo được các hiệu ứng này. Tôi tin rằng các cocycle bậc cao hơn nữa cũng sẽ quan sát được. Tôi có được một biểu diễn hết sức đẹp đẽ và đơn giản đúng theo phong cách Đào Vọng Đức các cocycle dưới dạng công thức Cambel-Haussdorf cho các đại lượng không giao hoán, không kết hợp,... Công trình được đăng trên tạp chí Phys.Lett. B. là nơi nhiều nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng, trong đó có Witten thường đăng bài. Tôi còn nhớ cảm giác sung sướng và tự hào khi đó: Từ một nơi xa xôi hẻo lánh, không có ai hướng dẫn, không có tài liệu khoa học mới nhất, tôi có thể tạo ra một sản phẩm được chấp nhận trên một tạp chí hàng đầu. Nếu không đổ mồ hôi học toán thật kỹ càng như thế, tôi đã không thể làm được điều đó. 

Trên hướng thứ hai, tôi bắt đầu bằng đối xứng SU(2) X SU(2) thường gọi là đối xứng chiral mà các nhà vật lý đã nghiên cứu rất kỹ trong những năm 50 để tìm hiểu về quan hệ giữa hạt pi meson và tương tác mạnh. Đối xứng này bị vi phạm bởi khối lượng pion và chỉ còn lại đối xứng SU(2) ở năng lượng thấp. Ban đầu tôi chỉ đơn giản muốn dùng phương pháp biểu diễn phi tuyến của Coleman-Wess-Zumino và định chứng minh rằng lý thuyết Skyrme sinh ra một cách tự nhiên nhờ biểu diễn phi tuyến. Thật bất ngờ, tôi nhận được một lý thuyết rất giống nhưng sai khác lý thuyết Skyrme ở các số hạng bậc cao hơn. Và tôi đã quyết định bắt chước Witten-Nappi-Adkins để tính lại các đại lượng có thể quan sát bằng thực nghiệm. Khi đó tôi đề nghị với người bạn vong niên là Phạm Thúc Tuyền cùng thực hiện các tính toán này. Sau một năm, các kết quả nhận được rất bất ngờ là lý thuyết của chúng tôi có độ phù hợp với thực nghiệm cao hơn lý thuyết của Witten-Nappi-Adkins(WNA). Đặc biệt, một số giá trị của WNA đều cao hơn giá trị thực nghiệm, một số giá trị của mô hình của chúng tôi lại thấp hơn giá trị thực nghiệm. Có thể dự báo rằng nếu thêm vào các tương tác khác, mô hình của chúng tôi sẽ hội tụ tới thực tế, trong khi mô hình Skyrme cổ điển sẽ ngày càng xa thực tế. Tuy nhiên, tôi đã phải bắt đầu cuộc phiêu lưu thế giới sớm hơn thực tế, nên phải rời bỏ hai góc lưới đã chăng. Dẫu chẳng săn được hổ, nhưng hai góc lưới đó chắc chắn cũng có thể có thu hoạch không tồi. Chắc đó cũng là định mệnh của tôi, cũng có thể là hành trang của Nguyễn Hoàng Phương để lại, không thể thành chuyên gia trong một lĩnh vực. Tuy vậy chắc chắn một ngày nào đó tôi sẽ quay lại. Trong hành trình săn hổ, đôi khi buộc phải để lại những công việc dở dang. Đó chính là một cuộc đánh cược: đổi những thành tựu có thể thấy được để tìm tới một hình ảnh huy hoàng hơn, nhưng cũng có thể là một ảo giác, để trở về với tay trắng (còn nữa)