Chỉ là chuyện nhân lũy thừa

Viết lại post này vì muốn chọc ngoáy các thầy Toán Lý mà lại viết như để riêng cho các thầy thì lấy đâu ra người đọc.

  CHỈ LÀ CHUYỆN NHÂN LŨY THỪA

 Nhân lũy thừa, chỉ đơn giản là a^x a^y = a^(x+y), với các số thực x, y, học sinh phổ thông nào cũng biết. Nhưng để chứng minh nó, chắc các học sinh giỏi cũng ngắc ngứ. Có lẽ đó là phần xấu xí nhất trong chương trình toán phổ thông. Nhưng có lẽ nhờ thế, tôi có được một số trong những bài báo thú vị nhất của mình.

 Trước tiên, có lẽ phải cảm ơn thầy giáo dạy toán của tôi là thầy Đặng Quan Viễn, là người đã cố gắng chứng minh công thức đó cho chúng tôi bằng gần hết thời lượng của một học kỳ dạy đại số. Tất nhiên, chứng minh của thầy hoàn toàn thất bại trong khuôn khổ kiến thức của chương trình trung học thời bấy giờ. Nhưng việc thấy được điểm khập khiễng này cũng đã là một điều vĩ đại vào lúc bấy giờ, và làm tôi kính phục thầy hơn rất nhiều nhà chuyên nghiên cứu Toán đương đại.

 Có lẽ ít ai để ý tới công thức nhân lũy thừa nói trên, bởi vì công thức là hiển nhiên với các số mũ nguyên, thậm chí với các số mũ hữu tỷ. Nhưng chứng minh, dựa trên định nghĩa về lũy thừa với một số mũ thực là giới hạn của các lũy thừa với số mũ hữu tỷ, khi giới hạn chỉ mới được giới thiệu qua một số chuỗi hội tụ, có lẽ là một việc bất khả thi. Trong wikipedia, cũng chỉ buông một câu rất "phản toán" là "vì các số vô tỷ là giới hạn của các số hữu tỷ" nên lũy thừa với số mũ thực là giới hạn của lũy thừa của số mũ hữu tỷ. Nếu học sinh cũng áp dụng lý luận lười biếng đó đó cho số mũ phức thì sẽ có những rắc rối.

Có những người may mắn sẽ thoát nạn, có những người đã phải trả giá bằng cả một sự nghiệp khoa cử. Tôi biết có một học sinh giỏi, rất sáng giá và có chí lớn, sau khi bị đánh trượt môn đại số chỉ vì không làm được khai căn bậc n của 1 trên trường số phức, nản chí học hành và trở thành một học sinh làng nhàng, có lẽ chỉ bị ảnh hưởng quá nặng bởi những lý luận qua loa như trên. Tai nạn đó rõ ràng mang tính ngẫu nhiên, bởi nếu hôm đó mụ thần may mắn không bắt anh gắp trúng đề thi đó, hôm nay biết đâu đã có bao nhiêu thế hệ học sinh được nghe một thêm một giáo sư khả kính rao giảng những kiến thức cao siêu.

 Cũng may, học sinh bị giáo trình lấp liếm, chứ nếu đặt câu hỏi "tại sao giới hạn đó lại tồn tại", "có chắc là luôn luôn tồn tại không",... các thầy khéo mà đau đầu. Cũng may, chương trình của ta chỉ chú trọng thợ làm toán, không chú ý đến người suy nghĩ, đặc biệt là đa số sẽ làm ở ngành khác, không mang huy chương về cho nước nhà, ít suy nghĩ một chút cũng tốt. Chắc chắn để trả lời các câu hỏi đó cho thỏa đáng các thầy sẽ phải nói về mở rộng số nguyên sang số hữu tỷ, tính trù mật khắp nơi của các số hữu tỷ, tính sắp được của trường số thực, tính liên tục của hàm lũy thừa.

Quá nhức đầu, thách đố chẳng khác gì trả lời câu hỏi cho học sinh tiểu học "em bé sinh từ đâu ra". Tôi cho rằng, đối với cả hai vấn đề toán và sinh vật trên, đều phải theo nguyên tắc, không dạy thì thôi, dạy là phải đầy đủ. Không dạy những thứ nhảm nhí như em bé đẻ ra từ nách. Như vậy, công thức trên có thể dạy dưới dạng quy tắc ở các lớp dưới, không cần dạy sau phần giới hạn chuỗi. Hoặc nếu đã dạy thì cần dạy đến nơi đến chốn việc mở rộng số, khái niệm giới hạn, liên tục,... trên ví dụ là hàm lũy thừa.

 Hàm lũy thừa có thể mở rộng với các số mũ là các ma trận hoặc các toán tử. Vật lý cổ điển chuyển sang vật lý lượng tử có thể hiểu một cách đơn giản là thay thế các số bằng các ma trận hoặc toán tử để mô tả các đại lượng vật lý. Chẳng hạn với hàm lũy thừa với cơ số e, với các số mũ là các ma trận thì công thức nhân lũy thừa exp(A) exp(B) = exp(A+B), chỉ đúng khi các ma trận A, B giao hoán AB= BA. Công thức đúng trong trường hợp tổng quát hơn, khi A và B không chắc là giao hoán, là đồng nhất thức Cambell-Haussdorf exp(A) exp(B) = exp(A+B+ 1/2[A,B]) trong đó [A, B] = AB-BA. Và thực ra, đồng nhất thức Cambell-Haussdorf cũng chỉ đúng nếu [A,[A, B]] = 0 = [B,[A, B]] hoặc hạn chế áp dụng trên một tập hợp các ma trận có tính kết hợp, như quaternion. Với các số không kết hợp như octonion (số Calley), công thức Cambell-Haussdorf cần tiếp tục bổ sung thêm các phần tử mới, và biểu thức ở vế phải của đồng nhất thức Cambell-Haussdorf có thể kéo dài vô tận. Và các cấu trúc mới sau tính kết hợp có thể sẽ được hiểu mỗi khi ta muốn chấm dứt vế phải của đồng nhất thức này ở một bậc nào đó của các ma trận A, B. Nói một cách khác, công thức nhân lũy thừa chỉ là xấp xỉ tuyến tính của đồng nhất thức Cambell-Haussdorf suy rộng.

 Nhân đây cũng cần nói thêm về các nguyên tắc của việc tổng quát hóa. Tổng quát hóa là một phương pháp luận, không phải chỉ có ý nghĩa với các nhà toán học. Trong cuộc sống thường ngày, tổng quát hóa cho phép áp dụng các kiến thức đã biết để giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực mới lạ. Nhưng cần phải có thao tác nhất định chứ không thể luôn luôn "ăn may" như trong công thức nhân lũy thừa của số mũ thực.

Tổng quát hóa, theo lối máy móc, có thể có sự góp phần của các thày dạy Toán đặc biệt ở việc nhân chuỗi lũy thừa, đang trở thành phương pháp luận phổ biến như chụp mũ, chủ nghĩa lý lịch, nâng quan điểm để những tên hoạt đầu chính trị trục lợi. Chúng ta đã quá dị ứng với những lý luận "anh nói thế chứng tỏ là anh...", "gia đình anh như thế chứng tỏ anh cũng như vậy...", "anh làm việc nọ chứng tỏ quan điểm anh thế kia".... Suy nghĩ cho cùng về mặt logic, những lý luận đó cũng chẳng kém việc dùng công thức nhân lũy thừa cho số mũ nguyên.

 Có một nguyên tắc khác của tổng quát hóa là phải có một motivation. Có nhiều rất nhiều thầy tiêu phí cả đời vào việc tổng quát hóa vô bổ. Các thầy rất sẵn ý tưởng, luôn luôn đủ cung cấp cho hàng trăm học sinh, tổng quát hóa ABC sang XYZ. Nghe thì rất rắc rối, cao siêu nhưng chung qui rất kém sáng kiến, không hơn gì "trong giáo trình đã dạy nhân hai số có 2 chữ số, học trò tôi đã tổng quát hóa nhân hai số có n<5, đề nghị anh tổng quát hóa cho n<7, n >6 là vấn đề hết sức vĩ đại to lớn mà nhân loại sẽ còn phải giải quyết".

Tôi nhận thức được, loại tổng quát hóa vô nguyên tắc sẽ đi đến những tri thức hiển nhiên qua định luật Hook. Định luật Hook phát biểu là độ giãn dx của một thanh vật chất đàn hồi tỷ lệ tuyến tính với lực kéo, khi lực kéo bé. Định luật Hook thứ hai cho thấy sự phụ thuộc bậc 2. Nếu tổng quát hóa đến cùng chẳng qua chỉ là khai triển Taylor của một hàm giải tích, và chẳng dùng được gì trong thực tế. 

Khi có motivation, tổng quát hóa sẽ phải theo từng bước, để kiểm chứng lại motivation, đừng để bị lệch hướng vào các tổng quát hóa vô bổ hoặc để sự lười biếng của trí tuệ lẻn vào, như việc nhân lũy thừa số thực. Nếu suy nghĩ đúng hướng, một vấn đề như nhân lũy thừa có thể kết nối với những vấn đề rất thú vị của toán học hiện đại. Một nhà toán học có những công trình xuất sắc không phải suốt ngày nghĩ đến các chuyện quái gở, suy nghĩ kiểu quái vật, thao tác bất thường, dùng các công cụ quái khủng. Họ cũng suy nghĩ bắt đầu từ những ý tưởng bình dị, như bất cứ một vấn đề ứng dụng thực tế nào, chỉ có điều họ đi rất sâu, phân tích rất kỹ và có những motivation xuất sắc để khỏi trệch hướng.

Tôi muốn kể một kinh nghiệm cụ thể cũng chỉ liên quan đến việc nhân lũy thừa để minh họa điều đó. Các phép biến đổi liên tục thường được biểu diễn bằng các biểu diễn hàm mũ với cơ số e. Chẳng hạn phép tịnh tiến trong không gian Eulide n chiều với vector a có thể viết f(x) --> f(x+a) = T(a) f(x) = exp (i a d/dx) f(x). Thực ra chỉ là một khai triển Taylor và dùng mở rộng công thức chuỗi của hàm mũ cho toán tử đạo hàm d/dx. Biểu diễn phép tịnh tiến như vậy đảm bảo tính đồng phôi T(a1+a2) = T(a1) T(a2), do công thức nhân lũy thừa là đúng khi mở rộng cho toán tử đạo hàm. Lý do như chúng ta đã thấy từ đồng nhất thức Cambell-Haussdorf, là các đạo hàm là giao hoán với nhau. Khi chuyển sang các không gian cong Riemann, các đạo hàm được thay bằng các đạo hàm hiệp biến D= d/dx+A(x) nhờ một đại lượng A(x), mà các nhà toán học gọi là liên thông, các nhà vật lý gọi là thế. Các đạo hàm hiệp biến buộc phép tịnh tiến bám chặt trên mặt đa tạp, chứ không đi thẳng ra ngoài. Các đạo hàm này không giao hoán. Do đó, phép biểu diễn tịnh tiến T(a) = exp(i a D) sẽ không còn cấu trúc đồng phôi như đã nói. Sử dụng đồng nhất thức Cambell-Haussdorf, ta sẽ có T(a1) T(a2) = alpha(a1, a2, x, 2) T(a1+a2). Đại lượng alpha (a1,a2,x,2), gọi là 2-cocycle là một khái niệm về đồng điều trong tôpô. Tương tự T(a1)T(a2)... T(an) = alpha (a1,a2,..., an, x, n) T(a1+a2...+a3) là các n-cocycle.

Các cocycle được chứng tỏ trong một công trình của tôi viết năm 1987 là các tích phân vòng quanh đa diện có các đỉnh là x,a1,a2,..,an và có ý nghĩa toán học là các đặc trưng tô pô, và ý nghĩa vật lý là các đại lượng vật lý đo được. Chẳng hạn 2-cocycle liên quan đến một hiệu ứng thực nghiệm rất nổi tiếng là hiệu ứng Bohm-Arahonov, được công ty Hitachi đầu tư nhiều để quan sát thực nghiệm. 3 và 4-cocycle, liên quan đến các lớp đặc trưng Chern-Simons, Chern-Pontrijagin,... có thể quan sát thông qua các đối tượng vật lý như đơn cực từ, soliton, lỗ đen,...

 Nói một cách khác, trong thực tế, có nhiều hoàn cảnh, biểu diễn tuyến tính không còn sử dụng được. Do tương tác vật lý, các cấu trúc toán học bị "biến dạng", tương tự công thức nhân lũy thừa bị biến dạng thành đồng nhất thức Cambell-Haussdorf theo nhiều bậc. Biến dạng hình học có thể đo bằng các cocycle, và sự tồn tại của cocycle ở các bậc, một cách bí ẩn nào đó lại liên quan đến các tính chất đại số như giao hoán, kết hợp,... Từ đó chúng ta có thể nghĩ tới các khái niệm toán học của biểu diễn biến dạng, từng bước một được phân loại bằng cocycle, và mỗi bước đánh dấu bằng sự tồn tại của các đối tượng vật lý có thể quan sát được.

 Biểu diễn tuyến tính không phải là công cụ toán học duy nhất để các nhà vật lý nghiên cứu các nhóm biến đổi liên tục. Từ những năm 60-70 của thế kỷ trước, các nhà vật lý đã sử dụng khái niệm biểu diễn phi tuyến cho một nhóm đối xứng Lie bất kỳ trong vật lý. Biểu diễn này có thể mô tả các hệ thống vật lý bị vi phạm tự phát. Tôi đã sử dụng biểu diễn này để xây dựng thành công một mô hình cải tiến cho hạt nucleon vào năm 1989. Mô hình này cho kết quả phù hợp với thực nghiệm tốt hơn các kết quả do nhóm của Giáo sư Edward Witten tại Princeton, trên cơ sở của mô hình cũ.

Từ một công thức nhân lũy thừa đơn giản, mà một học sinh trung học cũng có thể hiểu dễ dàng, nếu phân tích thật kỹ vẫn có thể thấy cả một thế giới với các tri thức toán học, vật lý tiên tiến nhất. Đặc biệt, các cấu trúc toán học khác nhau được sắp xếp một cách có trật tự, và bằng một cách huyền bí nào đó, các sản phẩm của trò chơi tư duy, đều lần lượt xuất hiện trong tự nhiên dưới một dạng nào đó. Khi thực nghiệm tìm ra hạt W, hình như Salam có nói một câu gì đó tương tự như "không thể tin được đó là sự thực". Cho đến nay thì các cấu trúc toán học điên rồ, nhất cũng đều lần lượt xuất hiện trong tự nhiên. Vì sao có sự phù hợp như vậy giữa tổ chức vật chất trong vũ trụ với những ảo ảnh sinh ra nhờ các phản ứng sinh hóa trong não bộ của một động vật cao cấp. Đó vẫn là bí ẩn lớn nhất của cuộc đời tôi mặc dù vẫn còn nhiều điều phải lo toan.